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【能力提高练】第五节函数与方程

1．(2022?深圳外国语学校高三(下)第二次检测)(多选)已知函数对任意都有，若的图象关于点(1，0)对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是()．

A．是偶函数 B．的周期T=2

C．在上有7个零点 D．在单调递增

【解析】由的图象关于关于点(1，0)对称，则，即，故是奇函数，A错误；

由，令，可得，则，则的周期，B正确；

由于的周期，故，在不单调，D错误；

对任意的，，且，都有，即函数在单调递增，由于是奇函数且，故在单调递增，在中，令可得，故有且只有两个零点，由于的周期，在上有共7个零点，C正确，故选：BC

【答案】BC

2．(2022?四川省成都市石室中学高三专家联测卷(二))已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则函数在上零点的个数为()

A．10 B．11 C．12 D．13

【解析】因为是定义域为R的奇函数，所以．因为，令，得，即，所以．又因为为奇函数，所以，所以，所以是以4为周期的周期函数．根据周期性及奇函数的性质画出函数在上的图象，如图．由图可知，函数在上有零点4，3.5，3，2，1，0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13个零点．故选：D

【答案】D

3．(2022?江西省新余市第一中学高三二模)已知定义在上的奇函数，满足，且当时，，若方程在区间上有四个不同的根、、、，则的值为()

A． B． C． D．

【解析】因为函数为上的奇函数，所以，，故函数的图象关于直线对称，因为，故函数是周期为的周期函数，当时，，因为函数、在上均为增函数，故函数在上也为增函数，作出函数和在上的图象如下图所示：

设，由图可知，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，因此，.故选：A.

【答案】A

4．(2022?重庆市第八中学高三第七次调研检测)(多选)已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则()

A．是以4为周期的周期函数

B．

C．函数有3个零点

D．当时，

【解析】依题意，为偶函数，且关于对称，则，所以是周期为4的周期函数，A正确.

因为的周期为4，则，，所以，B错误；

作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确；

当时，，则，D正确.故选：ACD

【答案】ACD

5．(2022?四川省南充高级中学高三第四次月考)设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为()

A．5 B．6 C．7 D．8

【解析】依题意，因，，则点在由直线围成的矩形ABCD区域内(含边界)，如图所示，而表示动点到定点距离的和，在矩形ABCD及内部任取点P，连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，当且仅当点P在线段OQ上时取“=”，，当且仅当点P在线段AC上时取“=”，于是得，当且仅当点P是线段OQ与AC的交点时取“=”，显然直线AC：与y轴交点在线段OQ上，即当点时，，所以二元函数的最小值为7.故选：C

【答案】C

6．(2022?重庆市第八中学高三第六次月考)(多选)已知函数则下列结论正确的有()

A．N*

B．恒成立

C．关于x的方程R)有三个不同的实根，则

D．关于x的方程N*)的所有根之和为

【解析】由题知，故A正确；

由上可知，要使恒成立，只需满足时，成立，即，即成立，令，则得，易知当时有极大值，故B不正确；

作函数图象，由图可知，要使方程R)有三个不同的实根，则，即，故C正确；

由可知，函数在上的函数图象可以由上的图象向右平移一个单位长度，在将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到，由于的对称轴为，故的两根之和为，同理，的两根之和为，…，的两根之和为，故所有根之和为，故D错误.故选：AC

【答案】AC

7．(2022?天津市南开中学高三第一次统练)已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数k的取值范围是()

A． B．C．D．

【解析】时，过，设与切于，因为，，则画出的图象，由图可知，当时，与有三个交点，时，，过，设与切于，因为，所以，可得，画出的图象，由图可知，当，即时，与有三个交点，综上可得，时，与有三个交点，即有三个零点.故选：D.

【答案】D

8．(2022?吉林省东北师范大学附属中学等五校高三联考)把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的是()

①在上单调递减；

②的图像关于原点对称；

③函数不存在零点；

④的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【解析】由方程，当，时不成立；当，时，；

当，时，；当，时