2021年全国初中数学竞赛试题.docVIP

全国初中数学竞赛试题

一、选取题:

1.已知实数a≠b,且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2。则b
+a
值为（）

A.23；B.-23；C-2；D-13

2、若直角三角形两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上高为h,则有（）

A.ab=h；B.
+
=
；C.
+
=
；D.a2+b2=2h2

3、一条抛物线y=ax2+bx+c顶点为（4,-11）,且与x轴两个交点横坐标为一正一负,则a、b、c中为正数（）

A.只有a；B.只有b；C.只有c；D.只有a和b

4.如图所示,在△ABC中,DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB

距离之比为1:2。若△ABC面积为32,△CDE面

积为2,则△CFG面积S=（）

A.6；B.8；C.10；D.12

5、如果x和y是非零实数,使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x3=0,那么x+y等于（）

A.3；B、
；C、
；D、4-

二、填空题:

6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=600,则∠EDC=_____________（度）。

7、据关于资料记录,两个都市之间每天电话通话次数T与这两个都市人口数m、n（单位:万人）以及两个都市间距离d（单位:km）有T=
关系（k为常数）。现测得A.B.C三个都市人口及它们之间距离如图所示,且已知A.B两个都市间每天电话通话次数为t,那么B.C两个都市间每天电话次数为次（用t表达）。

8、已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2,ax+by=5,则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=。

9、如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC（BC＞AD）,∠D=900,

BC=CD=12,∠ABE=45,若AE=10,则CE长度为。

10、实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则z最大值是.

三、解答题:

11.通过实验研究,专家们发现,初中学生听课注意力指标数是随着教师讲学时间变化而变化,授课开始时,学生兴趣激增,中间有一端时间,学生兴趣保持平稳状态,随后开始分散,学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化函数图象如图所示（y越大表达学生注意力越集中）。当0≤x≤10时,图象是抛物线一某些,当10≤x≤20和20≤x≤40时,图象是线段。

（1）当0≤x≤10时,求注意力指标数y与时间x函数关系式；

（2）一道数学竞赛题,需解说24分钟,问教师能否通过恰当安排,使学生在听这道题时,注意力指标数都不低于36。

12.已知a、b是实数,关于x、y方程组
有整数解,求a、b满足关系式。

13.D是△ABC边AB上一点,使得AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,使得∠ADP=∠ACB,求
值。

14.已知a＜0,b≤0,c＞0,且
=b-2ac,求b2-4ac最小值。

数学奥林匹克竞赛题:

例1.平面上有n条直线,它们中任意两条都不平行,且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个某些？

???此问题变例（即特殊状况）:

???变例1:十刀最多可以把一张饼提成多少块？

???变例2:一种圆形纸片,切100刀,最多可以将它分割为多少块？

???对变例2,咱们一方面猜测其结论:

???令S1,S2,……,Sn分别表达将圆形纸片切一刀,二刀,……,n刀所得块数,则有

???S1=2=1+1

???S2=4=1+1+2

???S3=7=1+1+2+3

???S4=11=1+1+2+3+4

???……

???Sn=1+1+2+3+4+……+n=1+
(n+1)·n

???∴当n=100时,有S100=1+
（100+1）·100=5051（块）

解:设bn表达一条直线被n个不同点分割后所得分段数,则有bn=n+1.

???设an-1为平面被符合条件n-1条直线分割成某些数,则当平面上插入符合条件第n条直线时,前n-1条直线与第n条直线相交于n-1个不同点,这n-1个点分第n条直线为bn-1段,而每一分段恰分平面上一种已存在某些为两个某些,于是,有:

???an=an-1+bn-1（n＞1,n∈N）

???又:bn-1=n

???∴an=an-1+n=an-2+(n-1)+n=……

???????=n+(n-1)+(n-2)