数学物理方法(刘连寿第二版)第06章习题[1].doc

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第六章习题答案

6.1-1求解下列本征值问题的本征值和本征函数。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）时，，代入边界条件得

和得到，不符合，所以

时，，代入边界条件得

，

所以：

（2）时，，代入边界条件得

和，所以存在。

时，，代入边界条件得

，

综合：本征值：

本征函数：

（3）时，，代入边界条件得

和，不符合。

时，，代入边界条件得

，

本征函数：

（4）时，，代入边界条件得

和，得到，故。

时，，代入边界条件得

解得：

得，所以

本征函数：

6.1-2单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放。试求管内空气柱的本征振动，即求解定解问题。

解：设,代入原方程有：

∴

代入边界条件有:

和

(1)先求解本征值问题

时,有，代入不成立

设

代入

(2)再求即

可得

故单簧管的振动为：

6.1-3一根均匀弦固定于和两端,假设初始时刻速度为0,而初始时刻弦的形状为一条抛物线,其顶点为，求弦振动的位移。

解:波动方程:

初始条件:

边界条件:

设,分别代入方程和边界条件可得:

和

本征值问题的解为:

而

代入初始条件有:

而

它只有奇次谐波

6.1-4演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手让其自由振动，设弦长为，被拨开的点在弦长（为正整数）处拨开距离，试求解弦的振动。

解：设弦的位移为，则波动方程为：

边界条件:

初始条件:

令，代入方程和边界条件得：

和

本征值问题的解为:

而

代入初始条件有:

所以：

积分有：

所以有

6.1-5长为两端固定的弦，用宽为的细棒敲击弦上点，亦即在处施加冲力，设其冲量为，弦的单位长线密度为，求解弦的振动。

解：波动方程：

边界条件：

初始条件:

令，代入方程和边界条件得：

和

本征值问题的解为:

而，所以

代入初始条件有:

积分：

所以有：

6.1-6长为的杆，一端固定，另一端受力而被拉长。求解杆在去掉力后的振动，设杆的截面积为，杨氏模量为。

解：杆的纵振动为自由振动方程为

边界条件：（自由端，形变为0）

初始条件：，

因为：在端，设伸长量为，则

故在杆的其它任意一点，伸长量为（按比例伸长）

求解此定解问题，设，代入原方程和边界条件有：

和

求得本征值为：

本征函数为：

常微分方程为：

所以：

代入初始条件：

而

6.1-7长为的均匀杆，由于两端受压而使得长度为，放手后任其自由振动，求解杆的振动。

解：波动方程：

边界条件：（两端形变为0）

初始条件：位移（表达式与坐标系和选取有关）

速度

下面讨论位移的表达式。

左半边:位移为，处位移为0。 设处伸长量为，按比例有：则

右半边：位移为0，处位移为。

则

所以在整个范围内位移都可以表示为

下面求解定解问题，设，代入方程和边界条件得：

和，其中本征值问题的解为：

本征值：

本征函数：

而，所以

代入初始条件有：

6.1-8长为的杆，上端固定在电梯的天花板上，杆身竖直向下，下端自由。当电梯以速度下降时突然停止，求解杆的振动。

解：波动方程：忽略重力

边界条件： （下端自由，形变为零）

初始条件：

设,代入方程及齐次边界条件有：

和，本征值问题的解为：

本征值：

本征函数：

所以：

代入初始条件有：

积分：

所以：

6.2-1一个长宽均为的方形膜，边界固定，膜的振动方程为

，求方形膜的本征频率。

解：令，代入波动方程有：

边界条件为：

将代入上述边界条件得：

令，，代入有：

得到关于、的本征值问题：

所