江苏省启东市2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题[含答案].docx

江苏省启东市2024?2025学年高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．经过点，斜率为的直线方程为（????）

A． B．

C． D．

2．已知平面经过点，且法向量为是平面内任意一点，则（????）

A． B．

C． D．

3．设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

4．已知是互相垂直的单位向量，若直线和的方向向量分别为，则和所成的角的余弦值为（????）

A．0 B． C． D．

5．已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为2，则的面积为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．若平面截圆柱得到一个离心率为椭圆，则平面与该圆柱底面的夹角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

7．已知曲线，将曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线；将曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线．则曲线与的一个公共点坐标为（????）

A． B．

C． D．

8．在四面体中，平面，，，则直线与平面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．设椭圆的两个焦点分别为，是上一点（除去与轴的交点），则（????）

A．周长为定值 B．的最大值为3

C．恒为锐角 D．直线与圆相交

11．过点的直线与圆相切，切点分别为，则（????）

A．当时， B．存在，使得

C．直线经过点 D．直线与直线的交点在定圆上

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知，写出平面的一个法向量.

13．若两条直线与平行，则实数的值为．

14．在平面直角坐标系中，定义为Ax1,y1,Bx2,y2两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为

四、解答题（本大题共5小题）

15．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，为侧面的中心，记，

(1)以为基底表示向量；

(2)已知，，若，求长．

16．在直角坐标系中，是射线上的一点，是射线上一点（都异于点），为线段的中点．

(1)若，求直线的方程；

(2)若点在直线上，求的最小值．

17．如图，都是椭圆的顶点，从上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且．

??

(1)求的离心率；

(2)若的面积比的面积大，求的方程．

18．如图，四边形是矩形，平面，平面，，．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值；

(3)是棱上一点，且到平面的距离为1，求直线与平面所成角正弦值．

19．已知圆．

(1)求过点且与圆相切的直线的方程；

(2)若点是圆上两点，

①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程；

②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点．

参考答案

1．【答案】A

【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.

故选：A.

2．【答案】D

【详解】依题意，，而平面的法向量为，

因此，即.

故选：D.

3．【答案】B

【详解】由方程表示圆，得，

圆的圆心为，又此圆关于直线对称，则，即，

因此，解得或，

所以的取值范围为.

故选：B.

4．【答案】C

【详解】设和所成的角为，

则

.

故选：C.

5．【答案】B

【详解】设，则，，

显然点不在直线上，则边上的高，

所以的面积.

故选：B.

6．【答案】A

【详解】设圆柱的底面圆直径为2，则平面截圆柱所得椭圆的短轴长，

而椭圆的离心率为，令椭圆长半轴长，由，得，

又过椭圆长轴及圆柱下底面圆直径的轴截面图形如图中直角梯形，

其中是圆柱下底面圆直径，是椭圆长轴，，过作于，

则等于平面与该圆柱底面的夹角，，

所以平面与该圆柱底面的夹角的余弦值为.

故选：A

7．【答案】C

【详解】设曲线上任意点，则点在曲线上，于是得曲线：，

同理得曲线：，由，解得，

因此曲线与的公共点坐标为.

故选：C

8．【答案】A

【详解】设，，

则，

则，

由②③可得代入①得

，

∵，∴，∴，

∵平面，∴则直线与平面所成角为.

∴

故选：A

9．【答案】ABD

【详解】对于A，由，得，则，解得，A正确；

对于B，由，得，则，解得，B正确；

对于C，由，得，，，则或，C错误；

对于D，由，得，，，则，D正确.

故选：ABD

10．【答案】AC

【详解】对A：由椭圆定义可知，又，

故周长为，故A正确；

对B：由，则，

当且仅当时，等号成立，

故的最大值为，故B错误；

对C：

，

当且仅当时，等号成立，

故恒为正，即恒为锐角，故C正确；

对D：圆的圆心为，半径为，

则圆心到直线的距离，

由是上一点（除去与轴的交点），

故有且，

则，即，

则，即，

故直线与圆相离，故D错误.

故选：AC.

11．【