江苏省南京市2024−2025学年高二上学期第一次调研（10月）数学试题[含答案].docx

江苏省南京市2024?2025学年高二上学期第一次调研（10月）数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．若，则（????）

A． B． C． D．

2．已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（????）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6

3．已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（????）

A． B． C． D．

4．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分（包括边界）的动点，则yx?2的最小值为（?????

??

A．?23 B．?32 C．

5．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（????）

A． B． C． D．

6．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7．在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（????）

A． B． C． D．

8．已知圆，设其与轴?轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（????）

A．20 B． C．10 D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．设为两个随机事件，以下命题正确的是（????）

A．若与对立，则

B．若与互斥，，则

C．若，且，则与相互独立

D．若与相互独立，，则

10．已知点A，B在圆上，点P在直线上，则（????）

A．直线l与圆O相离

B．当时，的最小值是

C．当PA、PB为圆O的两条切线时，为定值

D．当PA、PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点

11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（????）

A．曲线C上两点间距离的最大值为

B．若点在曲线内部（不含边界），则

C．若曲线C与直线有公共点，则

D．若曲线C与圆有公共点，则

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知，则．

13．若直线和直线将圆的周长四等分，则．

14．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知直线，点和点分别是直线上一动点.

(1)若直线经过原点，且，求直线的方程；

(2)设线段的中点为，求点到原点的最短距离.

16．记的内角的对边分别为，已知.

(1)求；

(2)若，且的面积为，求的周长.

17．在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，．

(1)证明：平面PAD；

(2)若为等边三角形，求点C到平面PBD的距离．

18．已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点．

(1)求证：的面积为定值．

(2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．

(3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.

19．已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为.

(1)求的值；

(2)求的面积；

(3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.

参考答案

1．【答案】C

【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

【详解】因为，所以.

故选：C.

2．【答案】C

【详解】依题意，，解得，

将数据从小到大排列可得：，

又，则分位数为.

故选：C.

3．【答案】C

【分析】对等式两边同时平方即可得到，再利用向量数量积定义和向量夹角的范围即可得到答案.

【详解】，即，

，即，则，

又，的夹角为，

故选C.

4．【答案】C

【详解】记A2,0，则k=yx?2

故当直线AP与半圆x2+y?1

设lAP:y=kx?2，则|?1?2k|k2+1=1，解得k=?

故选：C.

??

5．【答案】B

【详解】依题意两直线和的交点为，

所以在直线上，

所以过两点所在直线方程为，

故选：B

6．【答案】C

【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.

【详解】当时，方程变为，其倾斜角为，

当时，由直线方程可得斜率，且，

，即，又，，

综上所述，倾斜角的范围是.

故选：C.

7．【答案】B

【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角，

所以，又直线与平面所成角的最大值是，

所以，当且仅当取最小值时取得最大值，

因为，所以当时取最小值，此时，

所以，

又点在底面内，且，连接，

因为平面，平面，所以，

所以，

所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧