2020版高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性学案(含解析)北师 .pdf

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1．1导数与函数的单调性

学习目标1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方

法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．

知识点一导函数的符号与函数的单调性的关系

ab

(1)在区间(，)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系：

导函数的正、负函数的单调性

fx

′()0增加的

fx

′()0减少的

fx

′()＝0常函数

ab

(2)在区间(，)内函数的单调性与导数有如下关系：

函数的单调性导函数的正、负

fx

增加的′()≥0

fx

减少的′()≤0

fx

常函数′()＝0

fxfxfx

特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使′()＝0，在其余的点恒有′()0，则()

仍是增加的(减少的情形完全类似)．

fxxabfxab

(2)()为增函数的充要条件是对任意的∈(，)都有′()≥0且在(，)内的任一非空

fx

子区间上′()不恒为0.

知识点二函数的变化快慢与导函数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，

这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．

1．函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓”．(×)

2．函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(×)

3．函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(√)

fxabfxfxab

4．若()在区间(，)上可导，则“′()0”是“()在(，)上是增加的”的充要条

件．(×)

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fxabfxabfxfxa

5．若()的图像在[，]上是一条连续曲线，且()在(，)上′()0，则()在[，

b]上是减少的．(√)

题型一原函数和导函数图像之间的关系

yfxyfx

例1已知函数＝()的图像如图所示，则函数＝