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第一章傅里叶分析部份习题解答及参考答案

[1-1]试分别写出图X1-1中所示图形的函数表达式。

aìib)

(c)(dì

图X1-1习题[1-1各函数图形

解：(a)a

(c)

[1-2]试证明下列各式。

3)

(b)a

(d)

(2)

解：(1)原式左端=

n=□α

右端

2n只取偶数

当m=偶数时，令m=2n,则cos2Jx=1,并且有：

(3)由公式(1-8-7知：

得证。

所以

得证。

(4)首先可以证明：

遂有：

所以

又有

故

而对于任一函数有：

故该函数符合δ函数的定义，可作为定义δ函数的原函数之一。

(5)利用(4)的结果有：

故得：

证毕。

(6)利用(5)的结果，并由复指数公式展开得：

[1-3]计算下列积分式。

3)

(2)

(4)

参考答案：(1)0(2)f

(4)0

[1-4]计算下列各式的一维卷积。

(1

(2)

(3)rectQ)[comb

(2)参考答案：

(2)

[1-5试采用图解分析方法计算下列函数

(1)图X1-2所示的二函数：

(3)1

h(x)

图X1-2

-1

习题[1-5](图示的二函数

0

的卷积，并画出卷积后的图形。

解：(1)首先将函数f中的变量X写成ξ,再将h(ξ)翻转，并沿ξ轴移动X,如附图1-1所示。利用图解分析法，显然有：

①当[≤0时(见图(a))

②当0时(见图(b)

故综合①、②两项得：

f(S)1

hix4)

x0x+1

(a)

附图1-1

(2)

5

(b)

习题[1-5](倦积过程

其中

X

≤ξ≤x其他

而由上式积分限知：

当有

而当

综合图解分析法，如附图1-2所示，便有：

(2)

eat)ca(-)

eat)ca(-)

x-2-1/20x1/2

(4)-1/2写x≤1/2

(c)3/2x≤5.2

ctxorca(=)

ctxorca(=)

￥-21/201/2(b)1:2≤x≤3/2

ret(x)rea(=)

1/201/2x-2

r

(d)x5/2

附图1-2习题[1-5](2卷积过程

①当时(见图(a))

②当时(见图(b))

③当时(见图(c))

④当和,重叠面积等于零。卷积后所得图形如附图1-3所示。

附图1-3习题[1-5](2卷积结果的函数图形

[1-6试用卷积定理计算下列各式。

(2)F

解：

所以

其中rect

时有：由上式积分限知：当当

时有：

故可将卷积过程分为3段(见附图(a)、(b)、(c):

①当时(见图

②当时(见图((b))

③当时(见图(c)),

④当及有)=

(a)-32f-1/2

ret()irea()

-12./-101/2ff+15

(c)1/24f3/2

catA)sca()

catA)sca()

人-I/20k+1

(b)-1/21/2

retC)sree()

3/41/2

-32-1/2ol1213.27

(d)卷积计算结果

附图1-4习题[1-6](2卷积过程卷积后所得函数图形如附图1-4(d)所示。由图上可知：

[1-7求下列函数的傅里叶变换。

(1)rect5x05)(2)

令

令遂

(3,并求出当ε→0+时该变换的极限。

参考答案：1)

(3)1

[1-8定义：

分别为原函数及其频谱函数F

上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。

解：由傅里叶变换其逆变换定义，有

,分别代入上列两式得：

得：

得证。

[1-9按照系统的定义傅里叶变换算符可以看成是系统的变换算符，问：

(1)这个系统是线性系统吗?

(2)能否给出这个系统的线性函数?如果能，它是什么?如果不能，为什么?解：是线性系统，但不是线性空不变系统，它不能给出