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高等数学导数与微分教案

一、主题/概述

导数与微分是高等数学中的核心概念之一，是研究函数变化率和变化规律的工具。在本章节中，我们将深入探讨导数和微分的定义、性质及其应用，帮助学生理解如何通过这些工具描述和分析变化过程。掌握导数和微分对于进一步学习极限、积分以及解决实际问题具有重要意义。

二、主要内容

1.导数的定义与基本概念

导数（derivative）是描述函数在某一点的瞬时变化率的概念。对于一函数

f(x)，其在某一点

x=a的导数可以通过极限的方式定义，即：

f

′

(a)=

h→0

lim

h

f(a+h)?f(a)

该定义揭示了函数图像在该点的切线斜率。若此极限存在，则该点的导数存在。

重点：导数不仅是变化率的度量，还是函数局部性质的重要描述。它告诉我们函数如何随着自变量的变化而变化。

2.基本导数公式

?常数函数的导数：若

f(x)=c，其中

c是常数，则

f

′

(x)=0。

?幂函数的导数：对于

f(x)=x

n

（

n为常数），其导数为

f

′

(x)=nx

n?1

。

?指数函数的导数：若

f(x)=e

x

，则

f

′

(x)=e

x

；若

f(x)=a

x

，则

f

′

(x)=a

x

lna。

?对数函数的导数：若

f(x)=lnx，则

f

′

(x)=

x

1

。

3.导数的几何意义

导数不仅是数学分析中的工具，它的几何意义也非常直观。一个函数的导数表示函数图像在某一点的切线的斜率。具体来说：

?如果导数为正，则函数在该点附近是增函数，切线向上倾斜。

?如果导数为负，则函数在该点附近是减函数，切线向下倾斜。

?如果导数为零，则切线是水平的，可能是极值点或拐点。

示例：考虑函数

f(x)=x

2

在

x=1的导数，计算得：

f

′

(1)=

h→0

lim

h

(1+h)

2

?1

2

=

h→0

lim

h

2h+h

2

=2

导数为2，说明函数在该点的切线斜率为2。

4.微分的定义与应用

微分是导数的一个直接应用，它可以理解为函数值的增量与自变量增量之间的关系。对于函数

f(x)，在某一点

x=a的微分定义为：

df=f

′

(a)dx

其中

dx是自变量的增量，

df是因

x变化而导致的函数值变化。

示例：考虑函数

f(x)=x

2

，在

x=1点附近，

f

′

(x)=2x，所以当

x增加

dx时，函数值的增量为：

d

df=2xdx=2?1?dx=2dx

这表示，当

x增加一个很小的量

dx时，

f(x)的增量约为

2dx。

5.导数的四则运算与链式法则

导数的运算包括加法、减法、乘法、除法和复合函数的求导。对于复合函数，链式法则是必不可少的工具。

?加法与减法法则：若

f(x)和

g(x)可导，则

(f(x)±g(x))

′

=f

′

(x)±g

′

(x)。

?乘法法则：若

f(x)和

g(x)可导，则

(f(x)?g(x))

′

=f

′

(x)g(x)+f(x)g

′

(x)。

?除法法则：若

f(x)和

g(x)可导且

g(x)



=0，则

(

g(x)

f(x)

)

′

=

(g(x))

2

f

′

(x)g(x)?f(x)g

′

(x)

。

?链式法则：对于复合函数

h(x)=f(g(x))，其导数为

h

′

(x)=f

′

(g(x))?g

′

(x)。

示例：考虑函数

f(x)=(3x

2

+2)

5

，根据链式法则，其导数为：

f

′

(x)=5(3x

2

+2)

4

?(6x)=30x(3x

2

+2)

4

三、摘要或结论

导数与微分不仅是数学分析中的基础工具，也在自然科学、经济学和工程学中具有广泛应用。通过对导数的定义、计算方法和几何意义的学习，学生能够掌握如何描述函数的局部变化规律。微分作为导数的一种应用，帮助我们更精确地分析函数值的变化。理解导数和微分的基本概念、计算方法及其应用，将为进一步的数学学习打下坚实基础。

四、问题与反思

①为什么在一些情况下函数的导数不存在？这与函数的连续性有什么关系？

②微分与导数有什么区别？为什么微分可以近似计算函数的增量？

③对于复合函数，链式法则的应用可以帮助简化求导过程，但如何判断哪些函数是复合函数？

《高等数学》（同济大学，编著）

《微积分及其应用》（Anton，H.）

《数学分析》（华东师范大学数学系，编著）

《数学分析引论》（邱维德，编著）