湖北省第五届2024届高三5月综合试题数学试题Word版含解析.doc

湖北省第五届2024届高三5月综合试题数学试题Word版

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列的前项和为，，，则（）

A．25 B．32 C．35 D．40

2．函数的部分图象如图所示，则（）

A．6 B．5 C．4 D．3

3．复数在复平面内对应的点为则（）

A． B． C． D．

4．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（）

A．7 B．5 C．3 D．2

5．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（）

A． B． C． D．

6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数（），则函数的值域为（）

A． B． C． D．

7．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．

A．收入最高值与收入最低值的比是

B．结余最高的月份是月份

C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同

D．前个月的平均收入为万元

8．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

9．设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，则a3=（）

A．2 B．4 C． D．8

11．圆心为且和轴相切的圆的方程是（）

A． B．

C． D．

12．若集合，则=（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________．

14．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__．

15．以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则点的轨迹方程为_________．

16．已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，.

(1)求的值；

(2)令在上最小值为，证明：.

18．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．

（1）求证：．

（2）若，求二面角的余弦值．

19．（12分）已知函数，．

（1）若，，求实数的值．

（2）若，，求正实数的取值范围．

20．（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.

（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

城镇居民

农村居民

合计

经常阅读

100

30

不经常阅读

合计

200

（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为，若用样本的频率作为概率，求随机变量的期望.

附：，其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.

（1）求A的余弦值；

（2）求△ABC面积的最大值．

22．（10分）如图，在直角中，，通过以直线为轴顺时针旋转得到（）.点为斜边上一点.点为线段上一点，且.

（1）证明：平面；

（2）当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得．

【详解】

设等差数列的首项为，公差为，则

，解得，∴，即有．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题．

2、A

【解析】

根据