2024-2025学年上海市控江中学高三上学期期中考试数学试卷含详解.docx

控江中学2024学年第一学期高三年级期中考试

数学试卷

一,填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1.设,不等式的解集为______．

2.已知全集,,则______．

3.已知复数满足（其中是虚数单位）,则______．

4.设．若向量与向量平行,则______．

5.曲线在点处的切线方程为___________.

6.展开式中常数项是___________（用数字作答）

7.设,函数是奇函数．若,,则______．

8.设等差数列的公差不为0,其前项和为．若,则______．

9.设,函数若关于的方程恰有一解,则的取值范围为______．

10.设．对于样本数据,6,9,6,12,若该样本的第60百分位数是一个整数,则符合题意的的个数为______．

11.在空间中,是一个定点,已知圆锥上所有点到的距离都不超过1,则当该圆锥的体积取得最大值时,底面半径为______．

12.在平面直角坐标系中,已知椭圆：以及圆：,若点,分别在,上,点满足,则的最小值为______．

二,选择题（本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑．

13.下列方程中,能够表示双曲线的一条渐近线的是（）．

A. B. C. D.

14.在正方体中,是的中点,则在下列直线中,与直线相交的是（）．

A.直线 B.直线 C.直线 D.直线

15.设,．若关于的等式恒成立,则满足条件的有序实数对的对数是（）

A.1 B.2 C.3 D.4

16.已知函数图像为曲线．关于命题①“任取平面上的一点,与曲线关于点对称的曲线总能表示函数”和命题②“存在倾斜角的直线,使得与曲线关于对称的曲线能表示函数”的真假判断,下列说法正确的是（）．

A.①和②都是真命题 B.①和②都是假命题

C.①是真命题,②是假命题 D.①是假命题,②是真命题

三,解答题（本大题共有5题,满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17.在直四棱柱中,底面是菱形,且．

（1）求证：直线.

（2）求二面角的大小．

18.在中,角,,所对的边分别为,,,已知．

（1）若,,求.

（2）若,,求的周长．

19.为迎接我校校庆,文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品,每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日,志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时,小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数,发现缺失手绘款明信片,准备向文创中心申请补领,其余纪念品的份数如下表所示：

书签

明信片

手绘款

40

普通教

150

120

（1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品,小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品,事件：首位抵达的校友没有抽到明信片,分别计算,,并判断事件A,是否独立.

（2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片,且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2,且考虑到纪念品总数有限,希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少,则他应该申请补领多少张手绘款明信片？

20.如图,在平面直角坐标系中,抛物线：的焦点为,过的直线与抛物线及圆的四个交点依次为,,,．

（1）若点纵坐标为,求.

（2）证明为定值,并求出该定值.

（3）过,分别作抛物线的切线,,且,交于点,求与的面积之和的最小值．

21.设函数的定义域为．对于闭区间,若存在,使得对任意,均有成立,则记,若存在,使得对任意,均有成立,则记．

（1）设,分别写出及.

（2）设,．若对任意闭区间,均有不等式成立,求的最大值.

（3）已知对任意闭区间,与均存在,求证：“是上严格增函数或是上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间,,与至少有一个成立”．

控江中学2024学年第一学期高三年级期中考试

数学试卷

一,填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1.设,不等式的解集为______．

【答案】

【分析】由或即可求解.

【详解】由.

可得：或.

解得：或.

所以不等式的解集为：.

故答案为：

2.已知全集,,则______．

【答案】

【分析】根据补集的定义求解即可.

【详解】因为,,所以

故答案为：

3.已知复数满足（其中是虚数单位）,则______．

【答案】

【分析】根据复数的四则运算法则与模长公式运算即可.

【详解】因为,所