第66讲拔高点突破03 立体几何中的常考压轴小题（七大题型）（解析版）.docx

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拔高点突破03立体几何中的常考压轴小题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：球与截面面积问题 2

题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 7

题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 13

题型四：立体几何中的交线问题 21

题型五：空间线段以及线段之和最值问题 25

题型六：空间角问题 29

题型七：立体几何装液体问题 34

03过关测试 38

立体几何中的常考压轴小题往往聚焦于空间几何体的性质、体积计算、空间角的求解及与球相关的综合问题。解题时，需熟练掌握多面体（如棱柱、棱锥）和旋转体（如圆柱、圆锥）的结构特征，灵活运用空间向量、三垂线定理等工具解决空间角问题。此外，与球相关的题型常要求通过几何关系求出球的半径，进而解决表面积、体积等问题。解题时还需注意几何体的翻折、展开等变化过程中的不变性与不变量，以及平行、垂直等位置关系的论证。总之，立体几何压轴小题考验的是空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力。

题型一：球与截面面积问题

【典例1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题知平面，又面，所以，又为中点，

所以，

取中点为，连接交于，则是外心，又，

所以，连接，在上取为外心，

过作平面的垂线，过作平面的垂线，

两垂线的交点即为三棱锥外接球球心，

则四边形是矩形，，

连接，设外接圆半径，

设球半径为，因为球的表面积为，所以，得到，

所以在中，，

所以平面截球的截面面积，

在中，，

所以，

又为直线与平面所成角，所以，

故选：D.

【典例1-2】（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）在正三棱柱中，的重心为，以为球心的球与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（????）

A．存在点和实数，使得

B．三棱锥体积的最大值为

C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为

D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为

【答案】BC

【解析】方法一：

对于A，

取中点，中点，连接，，

正三棱柱中，平面平面，平面平面，

平面，平面，，而为的重心，

，到平面的距离为，而到平面的距离为，

球与平面相离，则不存在这样的和实数，使，A错．

对于B，到平面的距离为，球半径，则到平面的最大距离为，

，B正确．

对于C，设为球的的上顶点，平面于点，与球相切且与平面共面，

，，

设，则有，得，

，C正确．

对于，过且与垂直的平面为平面，

到平面的距离等于倍的到平面的距离，即，

而球半径，则平面截球的截面圆半径，

所以截面圆周长即的轨迹长度为，D错.

故选：BC．

方法二：

对于A，如图：

左图中为中点，为在平面上的投影．

右图为俯视图下看的球，由于为重心，在俯视图看来就是正三角形的中心，

所以球实际上与三个侧面均相切，则易得半径．

而，因此球与底面不相交，因此是错的；

对于B，有，正确；

对于C，作出平面的截面如下图：

当最大时的位置如上图所示，不难计算出，

所以，

那么此时，所以C正确；

对于D，轨迹即过B且垂直于的平面与球的交线圆，而，

此式右边是球面上的大圆的周长，所以是不可能的，所以D错．

故选：BC．

【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆柱的高与底面圆的直径均为4，则该圆柱的外接球的体积为；是圆柱下底面圆的直径，是圆柱上底面圆周上一点．记该圆柱的内切球为球，则平面截球所得截面面积的取值范围为．

【答案】

【解析】由题可知，圆柱的外接球的直径为，

则圆柱的外接球的体积为．

如图，四边形是圆柱的一个轴截面，

圆柱上、下底面的圆心分别为，则为线段的中点．

连接，则平面．过作于，

则．设到平面的距离为，

平面截球的截面圆的半径为，

球的半径为，则

平面截球的截面面积最小值为

易知当直径与重合时，平面截球的截面面积最大，且最大值为

平面截球所得截面面积的取值范围为．

故答案为：；

【变式1-2】（2024·高三·山东·期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则：（1）球的表面积为；（2）若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是．

【答案】

【解析】（1）根据垂直关系,可将三棱锥可放入以为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,进而求解即可；

（2）易得为底面的外接圆圆心,当截面时,截面面积最小,即截面为平面