专题04 二次根式（讲义）（3考点+10题型+10技巧）.docxVIP

第04讲二次根式

目录

TOC\o1-2\h\u考点一二次根式的相关概念 2

题型01二次根式有意义的条件 2

题型02判断最简二次根式 3

题型03判断同类二次根式 3

考点二二次根式的性质与化简 4

题型01利用二次根式的性质化简 4

题型02常见二次根式化简的10种技巧 5

考点三二次根式的运算 10

题型01二次根式的乘除运算 10

题型02二次根式的加减运算 11

题型03二次根式的混合运算 11

题型04二次根式的化简求值 12

题型05二次根式的应用 12

考点要求

新课标要求

命题预测

二次根式的相关概念

了解二次根式、最简二次根式的概念

中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.

二次根式的性质与化简

掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简

二次根式的运算

了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算

考点一二次根式的相关概念

1、二次根式的概念：一般地，我们把形如a（??≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．

2、最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

3、同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.

易混易错

1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：4、-9都是

2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式a有意义.

3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用．

4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：

①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；

②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.

【补充】

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.

5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：2、8、12

题型01二次根式有意义的条件

【例1】（2023·黑龙江绥化·中考真题）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是_______

【变式1-1】（（2023·江西·中考真题）若a?4有意义，则a的值可以是（????）

A．?1 B．0 C．2 D．6

【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式1?x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=1x?1+1x?2

方法技巧

解决二次根式有无意义的关键：

1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

题型02判断最简二次根式

【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最简二次根式的是（????）

A．0.2 B．8 C．6 D．1

【变式2-1】（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使x?3是最简二次根式，则x可以是______．

题型03判断同类二次根式

【例3】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（????）

A．4 B．6 C．8 D．12

【变式3-1】（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）

A．8与3 B．2与12 C．5与15 D．75与27

【变式3-2】下列各式中，能与2合并的是（????）

A．4 B．24 C．12 D．8

【变式3-3】若最简根式?2m+9与5m?5是同类二次根式，则m=_____．

方法技巧

判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关．

考点二二次根式的性质与化简

1、二次根式的化简方法：

1）利用二次根式的基本性质进行化简；

2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a?b（a≥0，b≥0），

2、化简二次根式的步骤：

1）把被开方数分解因式；

2）利用积的算