第66讲拔高点突破03 立体几何中的常考压轴小题（七大题型）（原卷版）.docx

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拔高点突破03立体几何中的常考压轴小题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：球与截面面积问题 2

题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 3

题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 4

题型四：立体几何中的交线问题 6

题型五：空间线段以及线段之和最值问题 7

题型六：空间角问题 9

题型七：立体几何装液体问题 10

03过关测试 12

立体几何中的常考压轴小题往往聚焦于空间几何体的性质、体积计算、空间角的求解及与球相关的综合问题。解题时，需熟练掌握多面体（如棱柱、棱锥）和旋转体（如圆柱、圆锥）的结构特征，灵活运用空间向量、三垂线定理等工具解决空间角问题。此外，与球相关的题型常要求通过几何关系求出球的半径，进而解决表面积、体积等问题。解题时还需注意几何体的翻折、展开等变化过程中的不变性与不变量，以及平行、垂直等位置关系的论证。总之，立体几何压轴小题考验的是空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力。

题型一：球与截面面积问题

【典例1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为（????）

A． B． C． D．

【典例1-2】（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）在正三棱柱中，的重心为，以为球心的球与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（????）

A．存在点和实数，使得

B．三棱锥体积的最大值为

C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为

D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为

【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆柱的高与底面圆的直径均为4，则该圆柱的外接球的体积为；是圆柱下底面圆的直径，是圆柱上底面圆周上一点．记该圆柱的内切球为球，则平面截球所得截面面积的取值范围为．

【变式1-2】（2024·高三·山东·期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则：（1）球的表面积为；（2）若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是．

题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题

【典例2-1】已知正方体的棱长为，是空间中任意一点.给出下列四个结论：

①若点在线段上运动，则总有；

②若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值；

③若点在线段上运动，则直线与平面所成角为定值；

④若点满足，则过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为.

其中所有正确结论的序号为.

【典例2-2】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列三个结论：

①

②的面积与的面积相等

③三棱锥的体积为定值

其中，所有正确结论是．

【变式2-1】（多选题）（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（????）

??

A．当点为中点时，平面

B．当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为

C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值

D．点到直线距离的最小值为

【变式2-2】（多选题）（2024·高三·广东深圳·开学考试）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（????）

??

A．不存在某个位置，使得

B．翻折过程中，CN的长是定值

C．若，则

D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是

题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题

【典例3-1】（多选题）已知边长为2的等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法中正确的是（????）

A．四面体的体积为定值

B．面积的最小值为

C．四面体体积的最大值为1

D．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为

【典例3-2】（多选题）（2024·广东惠州·三模）在四面体中，，，，，分别是棱，，上的动点，且满足均与面平行，则（????）

A．直线与平面所成的角的余弦值为

B．四面体被平面所截得的截面周长为定值1

C．三角形的面积的最大值为

D．四面体的内切球的表面积为

【变式3-1】（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（????）

A．若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为

B．平面平面

C．若，则的最小值为

D．若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为

【变式3-2】（多选题）（2024·河北秦皇岛·三模）在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），