压轴题秘籍02 二次函数的综合 带解析.docx

二次函数的综合

题型解读：

二次函数的综合问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数与几何图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①求抛物线、直线的解析式；②求点的坐标、线段长度、图形面积；③探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题.下图为二次函数综合问题中各题型的考查热度.

题型1：二次函数与最值问题

解题模板：

1.（2022?广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，b满足的关系式及c的值；

（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；

（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．

【分析】（1）在直线y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；

（2）连接BC交直线x＝1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时△PAB的周长最小，从而可以解答；

（3）根据a＝1时，可得抛物线的解析式y＝x2+x﹣2，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），表示QE的长，配方后可解答．

【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，

∴B（0，﹣2），

当y＝0时，﹣x﹣2＝0，

∴x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），

将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，

，

∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；

（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，

∴b＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，

∴抛物线的对称轴是：x＝1，

由对称性可得C（4，0），

要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，

如图1，连接BC交直线x＝1于点P，

因为点A与点C关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，

此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，

Rt△AOB中，AB＝＝＝2，

Rt△BOC中，BC＝＝＝2，

∴△ABP周长的最小值为2+2；

（3）当a＝1时，2×1﹣b＝1，

∴b＝1，

∴y＝x2+x﹣2，

∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），

∴OA＝OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠OAB＝45°，

如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，

设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），

∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，

∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，

当m＝﹣1时，QD有最大值是，

当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣2＝﹣2，

综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．

【变式1-1】（2022?遂宁节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；

【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决；

（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长；

（3）求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M的坐标，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．分三种情形：当AM＝AN时，当AM＝MN时，当AN＝MN时，分别构建方程求解．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．

由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，

∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，

令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，

解得x＝﹣1或3，

∴B（3，0），

∴OB＝OC＝3，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∵BC垂直平分DD2，且D（0，﹣2），

∴D2（1，﹣3），

∵D，D1关于x轴对称，