成考数学教案.三角函数的变换.doc

文化理论课教案

7.5.1-10-j-01

：

教学过程

【组织教学】

1.起立，师生互相问好

2.坐下，清点人数，指出和纠正存在问题

【导入新课】

1．提问：什么是角、正角、负角、终边相同的角、角度制、弧度制、角度与弧度的换算关系、任意角的三角函数?-90016是第几象限的角？

2．运算：已知α是锐角且sinα=0.6，求cosα、tanα

【讲授新课】

第八章三角函数式的变换

一、同角三角函数关系

同角三角函数关系可用图8.1表示

1.倒数关系对角线两端两函数的乘积为1

sinαcscα=1,cosαsecα=1,tanαcotα=1

tanαcotα

图8.1

2.商数关系周界上任一函数是其后第一个函数与第二个函数之商

sinαcosαcotαsecαcscαtanα

tanα=,sinα=,cosα=,cscα=,cotα=,secα=

cosαcotαcscαtanαsecαsinα

3.平方关系在有阴影的三角形里，两个上角项的平方和等于下角项的平方

sinα+

coαs=1,

22

tαan+=1

αsec,αc+ot=

22

1αcsc

由平方关系

可以推出sinα=,taαn=式，函数值的正负由α所在的象限来确定。

例(例1.(2))已知cosα=解由cosα=

13

13

1,cαot=等公1

，α在第四象限，求tanα

=-得secα

=3tanα==

34

例已知tanα=

34

，α在第三象限，求sinα

43

α=解由tan得cotα=

，sinα=

1cscα

=

=

=-

35

例已知tan159°＝m，求sin2001°解：由已知得tan159°＝tan(180o－21o)＝－tan21o=m，即tan21o=－

m

sin2001=sin(6?360-159)=sin(-180+21)=-sin21=-

tan21sec21

=

tan21

=

m二、诱导公式

1

教学过程

。kπ±α的三角函数变换为α的三角函数的规律：函数名不变，符号看象限（把α看成锐角）例已知θ=-750，β=225，求tanθ、cosβ。θ=解

tan

tan-(

75=0)

-tan?(

2-360=3-0)

303

cosβ=cos225=cos(180+45)=-cos45=-

2

(k+1)

π

2

±α的三角函数变换为α的三角函数的规律：变互余函数，符号看象限(把α看成锐角)。

例已知θ=120，β=225，求tanθ、cosβ。

π

θ=tan12=0a+n(=30-)c0解

tan

2

(

与按公式二求解作比较：tanθ=tan120=tan(π-60)=-tan60=)

cosβ=cos210=cos(

3π2

-60)=-sin30=-0.5

(与按公式二求解作比较：cosβ=cos210=cos(π+30)=-sin30=-0.5)

三、和、差、倍角公式

1.两角和、差的正弦、余弦、正切公式

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ

tan(α±β)=

tanα±tanβ1tanαtanβ

tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ)

tan(α+β+γ)=

tanα+tanβ+tanγ-tanαtanβtanγ1-tanαtanβ-tanαtanγ-tanβtanγ

A2tan

其中当A+B+C=π时,有:

B2

A2

C2

B2

C2

i).tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCii).tan+tantan+tantan=1

2.倍角的正弦、余弦、正切公式

2tanθ2sinθcosθ2

sin2θ=2sinθcosθ=(2sinθcosθ=,然后分子分母同除以cosθ)222

1+tanθcosθ+sinθ

2

教学过程

cos2θ=cos(θ+θ)=cosθ-sinθ=2cosθ-1=2cosθ+2sinθ-2sinθ-1=1-2sinθ

=

1-tanθ1+tanθ2tanθ1-tanθ

2

2222222

2

2

(cos2θ=cosθ-sinθ=

22

cosθ-sinθcosθ+sinθ

2

2

22

=

1-tanθ1+tanθ

2

2

)

tan2θ=

sinθ/cosθsinθ/cosθ+1

2

2

2

2

sinθ=

2

sinθsinθ+cosθ1+cos2θ

2

2

2

2

==

tanθ1+tanθ

2

2

2

=

1-cos