专题08 倍长中线法和截长补短法综合应用(解析版) .pdfVIP

专题08倍长中线法和截长补短法综合应用

倍长中线

类型一：直接倍长中线

△ABC中AD是BC边中线

A

BC

D

方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

A

F

BC

D

E

类型二：间接倍长中线

A

M

D

BC

N

作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE。

延长MD到N，使DN=MD，连接CN

截长补短

常见类型及常规解题思路：

①abc可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。

abkcabc

②可以将与构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如

等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30的直角三角形等。

截长法常规辅助线：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法常规辅助线：

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起

类型一：倍长中线法

【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．

【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，

∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE＝AC＝b，

在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

即a﹣b＜2AD＜a+b，

∴＜c＜．

【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，

求证：AF＝EF．

【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．

∵AD是BC边上的中线（已知），

∴DC＝DB，

在△ADC和△GDB中，

∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴∠CAD＝∠G，BG＝AC

又∵BE＝AC，

∴BE＝BG，

∴∠BED＝∠G，

∵∠BED＝∠AEF，

∴∠AEF＝∠CAD，

即：∠AEF＝∠FAE，

∴AF＝EF．

【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF

＞EF．

【解答】证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．

∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，

∴△BDE≌△CDM（SAS），

∴BE＝CM，

∵DE＝DM，DF⊥EM，

∴FE＝FM，

∵CM+CF＞FM，

∴BE+CF＞EF．

【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长

为．

【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，

∵D为BC的中点，

∴BD＝CD，

∵∠ADC＝∠BDE，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，

∵AD⊥AC，

∴∠DAC＝90°，

∴∠E＝90°，

∴AE＝＝＝4，

∴AD＝DE＝2，

∴BD＝＝＝，

∴BC＝2BD＝2，

∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．

故答案为：8+2．

【变式2】如图，在△ABC中，点E是A