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《任意角的三角函数》第一课时

一、教材分析

三角函数是描述周期现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、诱导公式、图象和性质等。?

三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过定义的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、天文学的重要基础。??

三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。??

二、学情分析

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。另外，高一学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。

三、教学目标

1.能借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

2.经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的过程，体验三角函数概念的产生、发展过程.?领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。?

3.通过学习，培养学生良好的思维习惯。渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.

四、教学重、难点：

重点：任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

难点：理解任意角三角函数的定义。?

五、教学方法与策略：

教学中注意用新课程理念处理教材，教师要充分发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生自主探索、动手实践、合作交流。根据本节课内容及高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.

六、教学过程

（一）创设情景，导入新课

数学是什么？在北京航空航天大学李尚志教授看来，数学可以如中国诗词般，是美的。他曾写过这样一首描述三角函数的诗：

东升西落照苍穹,影短影长角不同。

昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣。

太阳东升西落昼夜循环、潮涨潮落、冬去春来、草枯草绿，都是自然界重要的周期现象。今天我们要学习的三角函数就是描述周期现象的重要数学模型。

设计意图：由诗引入，吸引学生的注意力，使学生对三角函数可描述周期现象有初步的印象。

（二）提出问题，探求新知

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图（课件中）：已知锐角α，如何求角α的正弦、余弦和正切值？

构造直角三角形。在Rt△POM中，

也就是说，锐角三角函数是在直角三角形中定义的。

设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．

问题2：在前面的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？

（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？

（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

设计意图：引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．为此，组织学生讨论以下问题。

如图,将锐角放入直角坐标系，使角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,那么它的终边落在第一象限.则的终边上点P可用坐标表示。

问题3：在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？（学生代表回答）?

线段OP长为点P与原点的距离，记为.线段的长度为x,线段的长度为y.

则

.

?设计意图：从学生熟悉的锐角三角函数入手，先在平面直角坐标系中利用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。

问题4：如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？

不会，由相似三角形的知识可以保证。

既然点P位置并不影响三角函数值，数学讲究简洁美，我们可以将点P取在使线段的长的特殊位置上，这样锐角三角函数形式进一步简化为：

满足长为1的点在以原点为圆心，半径为1的圆上，这个圆我们称为单位圆。所以点P可看作是圆与角α终边的交点。

到此，我们借助于单位圆上点的坐标表示出了锐角三角函数，显然此种表示方法已不受直角三角形的约束。受此启发，我们也可以借助单位圆给出任