2021年中考数学专题——将军饮马之最短路径模型及练习题(带解析).pdfVIP

2021中考数学专题——将军饮马之最短路径模型

经典例题

【例1】如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD、BE（如

图①），点O为其交点．

（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．

①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；

②如图③，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN+NP+PD的最小值＝．

【例2】．如图，矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，在线段AC上

以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运

动，动点E从点D出发，在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．

（1）若△CDE与△ADC相似，求t的值．

（2）连接AQ，BP，CE，若BP⊥CE，求t的值；

（3）当PQ长度取得最小值时，求t的值．

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【例3】．已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分

别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F．

（1）如图1，求证：△PBE∽△PDE；

（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求线段BP的长；

（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，作以PO为半径，点P为圆心（PO＞0）的⊙P，试求

①⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围；

②⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围．

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√

【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的

3

3

√

ᵆ+3．

左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√

3

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三

角形，求点P的坐标；

（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平

移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB+EP

是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

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√√√

2

【例5】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−ᵆ+ᵆ+与x轴交于A、B两点（点A在点