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圆锥曲线与向量的综合性问题
一、常见基本题型:
在向量与圆锥曲线相结合的题目中,主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系,往往要和根与系数的关系结合运用。
问题的条件以向量的形式呈现,间接的考查向量几何性质、运算性质,
例1.设,点在轴的负半轴上,点在轴上,且.
当点在轴上运动时,求点的轨迹的方程；
解:（解法一）,故为的中点.
设,由点在轴的负半轴上,则
又,
又,
所以,点的轨迹的方程为
（解法二）,故为的中点.
设,由点在轴的负半轴上,则-
又由,故,可得
由,则有,化简得:
所以,点的轨迹的方程为
例2、已知椭圆的方程为,它的一个焦点与抛物线的焦点重合,离心率,过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点,且,求直线的方程；
解:（Ⅰ）设椭圆的右焦点为,因为的焦点坐标为,所以
因为,则,
故椭圆方程为:
（Ⅱ）由（I）得,设的方程为（）
代入,得,
设则,
所以直线的方程为
（2）所求问题以向量的形式呈现
例3.已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点,离心率是
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点C（—1,0）,斜率为k的动直线与椭圆E相交于A.B两点,请问x轴上是否存在点M,使为常数？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由。
解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴,
且
故所求方程为即,
（2）假设存在点M符合题意,设AB：代入
得:
则
要使上式与无关,则有
解得,存在点满足题意。
例4.线段过y轴上一点,所在直线的斜率为,两端点、到y轴的距离之差为.
(Ⅰ)求出以y轴为对称轴,过、、三点的抛物线方程；
(Ⅱ)过该抛物线的焦点作动弦,过、两点分别作抛物线的切线,设其交点为,求点的轨迹方程,并求出的值.
解:(Ⅰ)设所在直线方程为,抛物线方程为,
且,,不妨设,
即
把代入得
,
故所求抛物线方程为
(Ⅱ)设,
则过抛物线上、两点的切线方程分别是,
两条切线的交点的坐标为
设的直线方程为,代入得
故的坐标为点的轨迹为
而
故
(3)问题的条件及待求的问题均已向量的形式呈现
例5.在直角坐标系xOy中,长为的线段的两端点C.D分别在x轴、y轴上滑动,.记点P的轨迹为曲线E.
（I）求曲线E的方程；
（II）经过点（0,1）作直线l与曲线E相交于A.B两点,当点M在曲线E上时,求的值.
解:（Ⅰ）设C(m,0),D(0,n),P(x,y).
由
＝
,得(x－m,y)＝
(－x,n－y),
∴eq\b\lc\{(\a\al(x－m＝－\r(2)x，,y＝\r(2)(n－y)，))得eq\b\lc\{(\a\al(m＝(\r(2)＋1)x，,n＝\f(\r(2)＋1,\r(2))y，))
由|
|＝
＋1,得m2＋n2＝(
＋1)2,
∴
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