专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版) .pdfVIP

专题64将军饮马模型与最值问题

【模型引入】

什么是将军饮马？

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系

列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【模型描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

B军营

将军A

河

【模型抽象】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

B

A

P

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，

线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．

【模型解析】

作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’P=A，所以PA+PB=PA’PB+

B

A

P

A

当A’、P、B三点共线的时候，PA’PB+=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）