专题05 倍长中线问题(解析版) .pdfVIP

专题05倍长中线问题

【要点提炼】

一、【倍长中线法】

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加

辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等

三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使

什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）+倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，

完成SAS全等三角形模型的构造。

二、【倍长中线法拓展;两次全等】

通常，在倍长中线后的第一组全等只是一个基础，往往还需证明第二组全等，但是难点就在于

如何去倍长中线，倍长中线后去连接什么线，这是问题的关键。这时一般需要去试错，尤其是当有

两个中点时，一般是倍长中线后大概率会有另一组的全等。

三、【倍长中线的常见类型】

1.基本型

如图1，在中，为边上的中线.

延长至点E，使得.

若连结，则;

若连结，则;

若连结则四边形是平行四边形.

2.中点型

如图2,C为AB的中点.

若延长EC至点F，使得CFEC，连结AF，则BCEACF;

若延长DC至点G，使得CGDC，连结BG，则ACDBCG.

总结：在线段AB外，与中点C连结的点有E和D.事实上，EC和DC分别是ABE和ABD的

中线，只不过是三角形不完整罢了，本质就是隐蔽的“基本型”

3.中点+平行线型

如图3,AB//CD，点E为线段AD的中点.延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点

F)，则EDCEAF.

小结若按“中点型”来倍长，则需证明点F在AB上，为了避免证明三点共线，点F就直接

通过延长相交得到.因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等.这里“中点+

平行线型”可以看做是“中点型”的改良版.

【专题训练】

一、解答题（共14小题）

1.小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值

范围．

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延

长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：

如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到

解决．

请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）

（2）AD的取值范围是

小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝

4，∠GEF＝90°，求GF的长．

【答案】【第1空】SAS

【第2空】1＜AD＜6

【解答】解：（1）如图2中，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．

在△BED和△CAD中，

，

∴△BED≌△CAD（SAS）．

（2）∵△BED≌△CAD，

∴BE＝AC＝5，∵AB＝7，

∴2＜AE＜12，

∴2＜2AD＜12，

∴1＜AD＜6．

故答案分别为SAS，1＜AD＜6．

解决问题：如图3中，

解：延长GE交CB的延长线于M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥CM，

∴∠AGE＝∠M，

在△AEG和△BEM中，

，