2023-2024学年上海市行知中学高二上学期期末数学试卷含详解.docx

上海市行知中学2023学年第一学期期末

高二年级数学试卷

一,填空题（本题满分54分,共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分）

1．双曲线的左焦点坐标是．

2．已知事件与事件相互独立,且,,则.

3．已知一个等比数列的第4项是,公比是,它的第1项是.

4．一组数据3,5,8,a,11,15,18的平均数为10,则该数据的中位数是.

5．在四面体中,若底面的一个法向量为,且,则顶点P到底面的距离为.

6．已知直线：经过点,则直线l倾斜角的大小为.

7．如图,正方体中,,点在线段上,且,为线段的中点,则异面直线与所成的角为.

8．某新学校高一,高二,高三共有学生950名,为了了解同学们的兴趣爱好,计划采用分层抽样的方法,从这950名学生中抽取一个样本容量为190的样本,若从高一,高二,高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列,则此学校高一年级的学生人数为人.

9．已知直线与圆没有公共点,则的取值范围是.

10．在四棱锥中,底面为正方形,,为空间中一动点,为的中点,平面.若,则的轨迹围成封闭图形的体积为.

??

11．已知点是曲线（其中,为常数）上的一点,设,是直线上任意两个不同的点,且.则下列结论正确的是.

①当时,方程表示椭圆.

②当时,方程表示双曲线.

③当,,且时,使得是等腰直角三角形的点有6个.

④当,,且时,使得是等腰直角三角形的点有8个.

12．如图,在矩形中,,,分别为边,的中点,,分别为线段（不含端点）和上的动点,满足,直线,的交点为,已知点的轨迹为双曲线的一部分,则该双曲线的渐近线方程为.

????

二.选择题（本题满分18分,共有4题,13-14每题4分,15-16每题5分）

13．已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“⊥”是“⊥”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图（如图所示）,则该样本的极差是（????）

A．56 B．53 C．55 D．51

15．先后抛掷两颗骰子,设出现的点数之和是2,3,4的概率依次是,,,则（????）

A． B．

C． D．

16．已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为,,如果关于x的实系数方程有实数解,那么以下2023个方程中,无实数解的方程最多有（????）

A．1010个 B．1011个 C．1012个 D．1013个

三.解答题（本题满分78分,共有5题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤）

17．已知直线的倾斜角为,,且这条直线经过点.

(1)求直线的方程.

(2)直线恒过定点,求点到直线的距离.

18．某校近期举行了“2023年新闻时事知识竞赛”,现在随机抽查参赛的200名学生的得分（满分100分）,按照,40,50,50,60,60,70,,80,90,90,100制作成如图所示的频率分布直方图,已知0.015,,成等差数列.

(1)求出,的值,并计算参赛得分在50,60的学生人数.

(2)学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径,准备从得分在与90,100的学生中按分层抽样的方法抽出6名学生,然后从中再选出2名学生交流新闻时事获取的途径,求这2人的得分都在90,100内的概率.

19．亭子是一种中国传统建筑,多建于园林,人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息,避雨,乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2,其中,,三点共线）.一般地,设圆锥中母线与底面所成角的大小为,当时,方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米,底面半径为2.4米.圆柱高为3米,底面半径为2米.

(1)求几何体的体积.

(2)如图2,设为圆柱底面半圆弧的三等分点,求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值,并判断该亭子是否满足建筑要求.

20．已知是首项为1的等比数列,是首项为2的等差数列,且.

(1)求和的通项公式.

(2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列,求数列的前50项和.

(3)设数列的通项公式为,,记的前项和为,若对任意的都成立,求正数的取值范围.

21．已知椭圆：与抛物线：在第一象限交于点,,分别为的左,右顶点.

(1)若,且椭圆的焦距为2,求的准线方程.

(2)设点是和的一个共同焦点,过点的一条直线与相交于,两点,与相交于,两点,,若直线的斜率为1,求的值.

(3)设直线,直线分别与直线交于,两点,与的面积分别为,,若的最小值为,求点的坐标.

1．

【分析】利用双曲线的标准方