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北京大学2024年强基计划笔试数学试题

考试时间2024年6月30日上午9：00-11：00

以下为理科数学试题，共20题.

∑202419

1.求=1��模7的余数.

20

3∘3∘3∘

2.求sin6−sin114+sin126.

3.求1,2,…,8的排列的个数,使得排列中没有出现连续的12,23,…,78.

4.已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,求第2024项模5的余数.

()

5.求四元组,,,的个数,使得∈{1,2,3},且1020.

12341234

6.求(0,2]上方程2cos=sin的解的个数.

4

−1()(4)

7.求ℝ上方程�−1�+−1−1=0的解的个数.

2[]

8.求ℝ上方程−13+11=0的解的个数.

9.在体积为1的正方体内取一个点,过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体

1

分为8个长方体,求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值.

8

√3

10.在离心率为的椭圆中,,是两个焦点,是椭圆上一点,且∠=

1212

2

||||

,−=3,求.

12△

312

()()()

11.用表示正整数的数码和,求满足+1与均为5的倍数的的最

小值.

1

12.称正整数为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数满足��0,