数字信号处理原理配套习题答案第7章IIR数字滤波器设计习题解答.docx

7.1试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc

解 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为

A

巴特沃斯低通滤波器的系统函数为Hs

HsH

其零点都在s=∞处,它的极点为sk=?112N

H

其中K0由H

在三阶巴特沃斯低通滤波器中,Ωc

A

其极点为Sn

S1=2

则有

H

=

=

因为Ha0=

H

7.2试导出二阶切比雪夫滤波器的系统函数，已知通带纹波为1dB，归一化截止频率为Ω

解 根据滤波器的指标可知:带通波纹是δ1=1dB,N=2,

ε

所以ε

因为a=

s

将ε=0.50884，N=2,Ωc

s

s

s

s

Has由左半平面的极点s3、s

H

7.3已知某个模拟系统的传递函数为

Ha

试根据该系统求满足下列两个条件的离散系统的系统函数Hz

(1)冲激不变条件，即

?

(2)阶跃不变条件，即

s

式中

s

解 (1)因为H

得极点为s

代入冲激不变法计算公式得离散系统的系统函数为

H

(2)因为s

S

所以s

令t=nT,由阶跃不变条件可得

s

S

=

=

由于sn

H

7.4已知某个模拟滤波器的系统函数为

H

采样周期T=2，试用双线性变换法将它转换为数字滤波器的系统函数Hz

解 当T=2时,系统函数为

?

=

7.5要求用双线性变换法从二阶巴特沃斯模拟滤波器导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz

解 因为采样频率fs=1KHZ,截止频率

求巴特沃斯模拟滤波器的系统函数，因为二阶巴特沃斯滤波器的系统函数为

H

则二阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数为

H

使用双线性变换求得数字滤波器得的系统函数为

H

7.6已知某个模拟滤波器的传递函数为

H

试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数Hz，设T=0.5

解 (1)使用冲激响应不变法

因为Ha

对Ha

?

利用冲激响应不变法条件h(n)=?a

h

对h(n)求Z变换得

H

将s1=-0.5,s

H

(2)使用双线性变换法

H

=

=

7.7设?at

?

试用冲激响应不变法将该模拟滤波器转换成数字滤波器。若把T当作参量，证明T为任何正值时，数字滤波器都是稳定的，并说明此滤波器是近似低通滤波器还是近似高通滤波器。

解 令t=nT,得

?

求h(n)的Z变换,得数字滤波器的系统函数为

H

由于系统函数的极点为z=e?0.9T.,无论T为任何正值,恒有|z|=|e

令z=ejω

H

因此,滤波器的幅度响应为

H

在[0,π]区间,随着ω的增加,He

7.8图P7.8表示了一个数字滤波器的频率响应。

(1)试用冲激响应不变法,求原型模拟滤波器的频率响应;

(2)再用双线性变换法,求原型模拟滤波器的频率响应。

解：

（1）该滤波器的频率响应可表示为

H

因为ω大于折叠频率时,He

H

又由Ω=

Ha

下图给出了该原型模拟滤波器的频率响应

（2）根据双线性变换公式,可得

H

即由ω

所以,原型模拟滤波器的频率响应为

H

下图给出了该原型模拟滤波器的频率响应

7.9用冲激响应不变法设计一个满足以下指标的巴特沃斯数字低通滤波器:幅度响应在通带截止频率ωP=0.2613π处的衰减不大于0.75dB

解（1）根据滤波器的指标得

20

设T=1,将数字域指标转换成模拟域指标得

20lg

将巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数

H

代人上两式得

1+

1+

解这两个方程得N=7.2786,取整数N=8,且Ωc=0.9206。显然,按上述值设计的滤波器满足通带指标要求,且阻带指标将超过给定值。

(2)把N=8,0.Ωc=0.9206代入式

sk

求得;平面左半平面的4对极点分别为:

极点对1:-0.1796士j0.9029;极点对2:-0.5115士j0.7655;

极点对3:-0.7655士j0.5115;极点对4:-0.9029±j0.1796

由这4对极点构成的滤波器的传递函数为

H

=

(3)将Ha

H

(4)验证所得到的数字滤波器是否达到设计指标。将z=ejω代入系统函数H(z)表达式，求解幅度响应He

rp=0.75;rs=20;

wp=0.2613*pi;

ws=0.4018*pi;

Fs=1;

[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,s)

[z,p,k]=buttap(n);

[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)

[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wp)

Ts=1,fs=0.5;

[bz,az]=impinvar(bs,as,Fs/2)

[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs);

subplot(211)

plot(w,abs(h));gridon;

xlabel(w/2pi)

ylabel(幅值)

subplot(212)

plot