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广东省珠海三中2024年高三3月阶段测试数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阄后,甲说:“我没抓到.”乙说:“丙抓到了.”丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到.已知他们四人中只有一人说了真话,根据他们的说法,可以断定值班的人是()
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且,则该双曲线的离心率为()
A. B. C.2 D.4
3.已知全集,则集合的子集个数为()
A. B. C. D.
4.若集合,则()
A. B.
C. D.
5.已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是
A. B.
C. D.
6.复数(为虚数单位),则的共轭复数在复平面上对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.函数的部分图像如图所示,若,点的坐标为,若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,则的最小值为()
A. B. C. D.
8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).
A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸
9.若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是()
A.函数在上单调递增 B.函数的周期是
C.函数的图象关于点对称 D.函数在上最大值是1
10.已知数列中,,且当为奇数时,;当为偶数时,.则此数列的前项的和为()
A. B. C. D.
11.已知向量,满足||=1,||=2,且与的夹角为120°,则=()
A. B. C. D.
12.已知中,角、所对的边分别是,,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,若,则________.
14.在中,角所对的边分别为,为的面积,若,,则的形状为__________,的大小为__________.
15.已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____.
16.为激发学生团结协作,敢于拼搏,不言放弃的精神,某校高三5个班进行班级间的拔河比赛.每两班之间只比赛1场,目前(—)班已赛了4场,(二)班已赛了3场,(三)班已赛了2场,(四)班已赛了1场.则目前(五)班已经参加比赛的场次为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)解不等式;
(2)使得,求实数的取值范围.
18.(12分)已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于、两点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)设为抛物线上任意一点(异于顶点),过做倾斜角互补的两条直线、,交抛物线于另两点、,记抛物线在点的切线的倾斜角为,直线的倾斜角为,求证:与互补.
19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为().
(1)求抛物线C的极坐标方程;
(2)若抛物线C与直线l交于A,B两点,求的值.
20.(12分)在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,的平分线与交于点D,与的外接圆交于点E(异于点A),,求的值.
21.(12分)如图,在棱长为的正方形中,,分别为,边上的中点,现以为折痕将点旋转至点的位置,使得为直二面角.
(1)证明:;
(2)求与面所成角的正弦值.
22.(10分)某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路,以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,以所在的直线分别为轴,轴,建立平面直角坐标系,如图所示,山区边界曲线为,设公路与曲线相切于点,的横坐标为.
(1)当为何值时,公路的长度最短?求出最短长度;
(2)当公路的长度最短时,设公路交轴,轴分别为,两
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