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1§1.2随机变量及其分布一、一维随机变量及其分布函数二、多维随机变量及其分布函数

2一、一维随机变量及其分布函数1、随机变量及其分布函数(1)、随机变量引例设一箱中有球4个，其中有2个红球、2个白球；从中任意抽取2个,观察抽到球的颜色。样本空间S={红1红2,红1白1,红1白2,红2白1,红2白2,白1白2},非数量将S数量化用X表示抽得的红球数，则{2,1,1,1,1,0}----X建立起了一种S到数集{0,1,2}之间的对应！定义：设E是一个随机试验,其样本空间S={e}.如果对每一个样本点e?S，总存在一个实数X(e)与之对应,则得到一个从样本空间S到实数集R的单值实函数X=X(e),我们称X为E的一个随机变量.常用大写字母X、Y等表示之。

3例1一种有奖彩票的每1万张中分别设置一、二、三等奖各5、20、200个，奖金分别为5000、1000、50（元），试用随机变量描述中奖率的状况.解用X表示购该彩票一张的可能中奖金额，则X是一个随机变量，它的所有可能取值为(2)、用随机变量表示事件若X是实验E的一个随机变量，那么{X=1},{Xa},{a≤Xb},{X∈[a,b)}及{X=2k,k∈N}等都表示E中的事件；反之，E中的事件通常都可以以X的取值形式表示出来.注：(1)随机变量是这样一种实值变量;(2)它依赖于某一个随机试验，其取值是随着试验结果的不同而变化的.

4注:(1)分布函数是一种单调不减、实值、有界的普通函数(2)对于任意实数为一个定义域为R、值域为[0，1]的函数，称之为随机变量X的分布函数P{X≤x}=F(x)▲设X为一随机变量,则对每一个实数x，{X≤x}都是一个随机事件，进而(3)分布函数的定义

5(1)、定义:如果随机变量X的所有可能的取值是有限多个或可列无限多个，则称X为离散型随机变量,又设X的可能取值是x1,x2,…,xk,…，若有P{X=xk}=pk,k=1,2,…称此通式为X的概率分布，也称分布律.表格法如下：pkp1p2…pn…Xx1x2…xn…(2)、性质：1．pk≥0，（k=1,2,…）2．∑pk=1.2、离散型随机变量及其分布律一个阶梯函数(3)、离散型的分布函数

6例2设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示抽得的次品数，求随机变量X的分布律、分布函数及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值为0，1，2；=P{抽得的两件全为正品}P{X=0}P{X=1}=P{X=2}=故X的分布律为例1中随机变量的分布函数为

7（4）几种常见的重要分布:1-pppk01X则称X服从参数为p的(0-1)分布或二点分布,记为X～(0-1)分布背景：样本空间只有两个样本点的情况；定义：若随机变量X的分布律为:10、0-1分布(二点分布):如：“抛硬币一次,X表示正面朝上的次数”;“检验一件产品是否合格,X表示合格品的件数”

82、二项分布:定义：若随机变量X的分布律为:其中0p1,则称X服从参数为n,p的二项分布、记为X～b(n,p).解：依题意，有放回地抽取5件,可视为5重贝努利实验记X为共抽到的次品数，则所求为P{X=2}例3从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5件,每次抽一件,求恰好抽到两件次品的概率.A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,p=1/4;

93、泊松分布:定义：若随机变量的分布律为:其中?0,则称X服从参数为?的泊松分布，记为X～P(?).注：10它是二项分布的极限形式！实际应用中：当n≥20,p≤0.05时，即可用近似公式20有Poisson分布表可查用.其中?=np.30实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从Poisson分布的。某服务台在某时间段内接待的服务次数X；某地区在某时间段内出现故障的次数Y;……

10例4某公共汽车站单位时间内的候车人数服从参数?＝8的泊松分布，求该公共汽车站单位时间内候车人数小于5的概率.解记该车站单位时间内的候车人数为X,则由题知X~P(8)查附表1知

11(1)、数学定义：若存在非负函数f(x),使随机变量X的分布函数恰为则称X为连续型随机变量，称为X的概率密度。(2)、f(x)的性质3、连续型随机变量及其概率分布

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