数学与应用数学专业 优秀毕业设计（论文）.docx

学号：2008310861

哈尔滨师范大学学士学位论文

题目：数学归纳法及其应用学生：

年级：2008级

专业：数学与应用数学系别：数学系

学院：数学科学学院

哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告

论文题目矩阵初等变换及其应用

学生姓名焦阳

指导教师林立军副教授

年级2008级

专业数学与应用数学

2011年11月25日

课题来源：

矩阵初等变换及其应用

课题研究的目的和意义：

由于矩阵的初等变换贯穿着代数学习的始终，那么掌握好矩阵的初等变换对我们学习好高等代数有很大帮助。本文对初等变换的应用做了总结，使读者能够系统地了解初等变换在不同地方的应用。方便读者日后学习中使用初等变换解题。很多复杂、繁琐的问题经过初等变换都可以化为简单、易于解决的问题。所以对于矩阵的初等变换的研究具有非常重要的意义。

国内外同类课题研究现状及发展趋势：

课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：

本文主要探究矩阵的初等变换在高等代数、线性代数中的应用。总结了矩阵的初等变换的一些基本概念和重要结论，然后根据这些概念和结论，把矩阵的初等变换的方法应用到解决各类问题当中。并把初等变换应用的具体方法提炼出来，方便日后解题使用。在研究过程中，方法的总结是最主要的内容，也是研究的目的。经过对大量习题的研究、比对，对参考文献的研究，最后将初等变换在具体问题中的具体方法用最简洁、直观的方式总结出来。

课题研究起止时间和进度安排：

起止时间：2011年11月25日至2012年4月25日。进度安排：

1、2011年11月25日定题

2、2011年11月26-12月1日拟定大纲

3、2011年12月2日-12月31日资料查询，写好开题报告。

4、2012年1月1日-2月1日理论分析。

5、2012年2月2日到4月1日形成初稿，并修改论文。

6、2012年4月2日到4月25日定稿及准备答辩。

课题研究所需主要设备、仪器及药品：无

外出调研主要单位，访问学者姓名：无

指导教师审查意见：

同意开题。

指导教师(签字)

年月

教研室(研究室)评审意见：

同意开题。

教研室(研究室)主任(签字)

年月

院(系)审查意见：

同意开题。

院(系)主任(签字)

年月

学士学位论文

题目：数学归纳法及其应用学生：郎惠玲

指导教师：林立军副教授年级：2008级

专业：数学与应用数学系别：数学系

学院：数学科学学院

哈尔滨师范大学2012年5月

数学归纳法及其应用

郎惠玲

摘要：本文主要从数学归纳法的基础、数学归纳法的原理、数学归纳法的类型、使用数学归纳法的步骤、数学归纳法的应用等几方面进行阐述，介绍了数学归纳法在解决解行列式问题、数列证明、不等式证明和数的整除证明等方面的应用，目的是通过应用数学归纳法解题，从而培养运算能力、观察能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。

关键词：数学归纳法；递推；不等式；整除

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题P(n)的一种推理方法，其基础是观察与实践.例如哥德巴赫猜想、二项展开式和笛卡尔-欧拉公式等，无一不是观察、实验和归纳的结果.

下面我从数学归纳法的基础、数学归纳法的原理、数学归纳法的类型、数学归纳法的应用等几方面进行阐述.

一、数学归纳法的基础

严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题作了深入的考察.

递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的.

意大利数学家皮亚诺(Peano,Giuseppe,1858-1932)于1889年在其著作《算数原理新方法》中提出了著名的自然数公理体系，其中欧冠的“归纳公理”成为数学归纳法的理论依据.皮亚诺自然公理的内容是：

①1是自然数；

②每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a,a也是自然数(一个数的后继

数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2,2的后继数是3等等);

③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c;

④1不是任何数的后继数；

⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n也真，那么,命题对所有自然数都真.(这条公理也叫归纳公理，保证

了数学归纳法的正确性.)

这条公理也叫归纳假设，