专题04 函数的概念与性质5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）.docxVIP

【解题秘籍】备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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专题04函数的概念与性质5题型分类

1．函数的概念

概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素

对应关系

y＝f(x)，x∈A

定义域

x的取值范围

值域

与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}

2．函数的单调性

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果?x1，x2∈D

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数

当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

3．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)?x∈I，都有f(x)≤M；

(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M

(1)?x∈I，都有f(x)≥M；

(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

4．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

5．函数的周期性

周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

（一）

函数的概念与表示

1．函数的三要素

（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．

（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．

2．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

4．函数的定义域

（1）无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合．

（2）若f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．

（3）若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．

5．函数解析式的求法

（1）配凑法．

（2）待定系数法．

（3）换元法．

（4）解方程组法．

6．分段函数求值问题的解题思路

（1）求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

题型1：函数的概念与表示

1-1．（2024高二下·宁夏吴忠·学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（????）

A． B．

C． D．

1-2．（2024高三·全国·课后作业）下列各组函数中，表示同一个函数的是（????）．

A．，

B．，

C．，

D．，

1-3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（????）

A．-6 B．0 C．4 D．6

1-4．（2024·北京朝阳·二模）函数的定义域为.

1-5．（2024高三·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．

1-6．（2024高一上·湖南邵阳·期末）已知的定义域为，那么a的取值范围为．

1-7．（2024高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为．

1-8．（2024高三·全国·课后作业）函数的值域为.

1-9．（2024高一·上海·专题练习）求下列函数的值域

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）

（9）；

（10）.

1-10．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式：

(1)已知，求的解析式；

(2)已知，求的解析式；

(3)已知是一次函数且，求的解析式；

(4)已知满足，求的解析式.

（二）

函数的单调性与最值

1．函数的单调性

（1）?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)0(0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0(0)?f(x)在区间I上单调递增(减)．

（2）在