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信息学竞赛中的基础组合数学
清华大学附属中学宋新波
什么是组合数学？
p组合数学关心的问题
Ø把某个集合中的对象排列成某种模式，使其满足一些指定的规则。
p组合数学通常研究的问题
Ø排列的存在性
Ø排列的列举（计数）或分类
Ø研究已知的排列（性质或结构）
Ø构造最优排列
p什么是组合数学？
Ø组合数学是研究离散构造的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科。
讲课内容
p01排列组合
p02鸽巢原理
p03容斥原理
p04Catalan数
p01排列组合
Ø例1选课
l一名学生想选修一门课，可以是数学课或生物课，但两者不能同时都选。如果现有4门
数学课程和3门生物课程供选择，那么该学生有几种选修方法？
p01排列组合
例2旅行方案
l你从北京到重庆的旅行方案，分公路、铁路、海路和空路四种方式，其中公路有骑行、
自驾2种，铁路分绿皮火车、动车和高铁3种，海路分渔船、邮轮2种，空路分南航、海
航、国航3种，只能选择其中一种，问共有多少种方式可以选择？
p01排列组合
n加法原理
Ø例1选课
l一名学生想选修一门课，可以是数学课或生物课，但两者不能同时都选。如果现有4门
数学课程和3门生物课程供选择，那么该学生有几种选修方法？
ü选修一门课分选数学或选生物这两种不同的情况。该学生有4+37种方法选修一门课。
Ø例2旅行方案
l你从北京到重庆的旅行方案，分公路、铁路、海路和空路四种方式，其中公路有骑行、
自驾2种，铁路分绿皮火车、动车和高铁3种，海路分渔船、邮轮2种，空路分南航、海
航、国航3种，只能选择其中一种，问共有多少种方式可以选择？
ü共有2+3+2+38种方案。
p总结：完成一件事情分不同的情况，总方案数等于不同情况方案数之和。
p01排列组合
Ø例3组建团队
l从5名男士、6名女士、7名小孩中选择一男士一女士一小孩的方法共有多少种？
p01排列组合
例4约数个数
4278
l确定3*5*11*13的正整数因子个数。
p01排列组合
Ø例5排列公式
p01排列组合
n乘法原理
Ø例3组建团队
l从5名男士、6名女士、7名小孩中选择一男士一女士一小孩的方法共有多少种？
ü共有5*6*7210种方法。
Ø例4约数个数
4278
l确定3*5*11*13的正整数因子个数。
ü共有(4+1)*(2+1)*(7+1)*(8+1)1080个。
Ø例5排列公式
l=∗(−1)∗...∗2∗1=,=∗(−1)∗...∗(−+1)=
(!
p总结：完成一件事情分不同的步骤，总方案数等于每一步方案数之积。
p01排列组合
Ø例6门禁密码
l某门禁密码是由数字0,1,2,...,9的数字和小写字母a,b,c,...,z的字母组成的长度为6
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