《简单的线性规划（第1课时）》教学设计.docVIP

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3.3.2简单的线性规划问题(第1课时)

(名师：陈庚生)

【核心素养】

通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．

【学习目标】

理解什么是线性规划，并能够解决一些简单的线性规划问题．

【学习重点】

简单的二元线性规划问题．

【学习难点】

准确而快速的画出线性规划可行域，并进行最优解的求解．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1阅读教材P1－P4，思考：线性规划是如何形成的？它的主要功能是什么?利用线性规划解决一些简单问题.

2．预习自测

1．不等式组表示的平面区域是()

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：B

2．不等式组所表示的平面区域的面积为()

A.1B.C.D.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：D

3．若满足条件的整点恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数的值为（）

A．B．C．D．

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：C

（二）课堂设计

1．知识回顾

在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：

（1）直线上的点（x，y）的坐标满足：；

（2）直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；

（3）直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：.

即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

2．问题探究

问题探究一线性规划的含义

观察与思考：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

想一想：怎样将题目条件转化为我们熟悉的不等式组？

想一想：在前一节二元一次不等式（组）与平面区域的学习中，如何将上述不等式组表示成平面区域？

探究：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

想一想：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？

z=

上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？

将z=变形为y=，这时直线斜率为，在y轴上的截距为.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.

由于直线的斜率是确定的，说明截距平面内的点的坐标唯一确定．又因为斜率为，因此当截距最大时，z取.因此，问题转化为当直线与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使直线经过P时截距最大.

由图可以看出，当直线经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4,2）时，截距最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.

想一想：什么是线性规划？

在上述问题中，我们将由变量x,y组成的不等式(组)成为线性约束条件；将要求最值的函数，如z=2x+3y，称为.

一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值，统称为.

满足线性约束条件的解叫做，由可行解组成的集合叫做，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做.如上述问题中可行解(4,2)为最优解.

问题探究二不等式组表示的平面区域

例1画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：

(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？

解：在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝m逐条分段统计．

解：(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．

所以，不等式组表示的平面区域如图所示．

结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．

(2)由图形及不等式组知

当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；

当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；

当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；

当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；

当x