2025高考数学必刷题 第24讲、不等式的证明问题（学生版）.pdfVIP

2025高考数学必刷题

第讲不等式的证明问题

24

知识梳理

利用导数证明不等式问题，方法如下：

fxgxfxgx

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明

fxgx0fxgx0hxfxgx

（或），进而构造辅助函数；

（）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

2

（）构造形似函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅

3“”

助函数.

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

必考题型全归纳

题型一：直接法

fx2lnx1

例1．（2024·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．

fxPx,fxy2x2

(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线

00

方程；

2

x0,e1fxx2x

(2)求证：当时，．（其中e2.71828）

lnx1

例2．（2024·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数f(x).

xx

(1)求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)求证：f(x)2x3.

1

2025高考数学必刷题

a

例3．已知函数f(x)(a1)lnxx，a0．

x

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）当a1时，证明：x(1,)，f(x)aa2．

题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）

x

1

例4．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数fx1(x0)．



x

fxe

(1)证明：；