2025高考数学必刷题 第39讲、复数（学生版）.pdfVIP

2025高考数学必刷题

第讲复数

39

知识梳理

知识点一、复数的概念

（1）叫虚数单位，满足i2，当kZ时，4k4k14k24k3．

i1i1,ii,i1,ii

（2）形如abi(a,bR)的数叫复数，记作abiC．

①复数zabi(a,bR)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，叫z的实部，b叫z的虚

a

b0zR,b0,zb0a0

部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应

点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．

ac

②两个复数abi,cdi(a,b,c,dR)相等（两复数对应同一点）

bd

③复数的模：复数abi(a,bR)的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，

OZOZ

222222

其计算公式为|z||abi|ab，显然，|z||abi|ab,zzab．

知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则

1、复数运算

（1）(abi)(cdi)(ac)(bd)i

（2）(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

222

(abi)(abi)zzab|z|



22

(注意z|z|)



zz2a



22

其中|z|ab，叫z的模；zabi是zabi的共轭复数(a,bR)．

（3）abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i22．

22(cd0)

cdi(cdi)(cdi)cd

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都

适用于复数．

注意：复数加、减法的几何意义



以复数z,z分别对应的向量OZ,OZ为邻边作平行四边形OZZZ，对角线OZ表示的

121212



向量就是复数所对应的向量．对应的向量是ZZ．

OZzzzz