苏版初二上册将军饮马模型浅解讲义 .pdf

苏版初二上册13

将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离

是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法确实是作轴对称。

而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会

显现线段a+b如此的条件或者问题。一旦显现能够快速联想到将军饮马

问题，然后利用轴对称解题。

•

将军饮马故事A

“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，要紧转化成“两点之间

•

B

线段最短问题”

原题：如图，一位将军，从A地动身，骑马到河边给马饮水，然后再

到B地，问如何样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？

模型一：一条定直线，同侧两定点

在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。

一样做法：作点A（B）关于直线的对称点，连接A’B，A’B与直

线交点即为所求点。A’B即为最短距离。

理由：A’为A的对称点，因此不管P在直线任何位置都能得到AP

=A’P。因此PA+PB=PA’+PB。如此问题就化成了求A’到B的最短距

离，直截了当相连就能够了。

例一：某供电部门预备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点

为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B

分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。

（1）假如居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那

LL

•A•B

么分支点M在什么地点时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？

B’

•A••

（2）假如居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那

B’

么分支点M在什么地点时总路线最短？现在分支点M与A1的距离是多少

•

•B

•

千米？A’

A’

模型二：一条定直线，一定点，一动点

如图，已知直线L和定点A，在直线K上找一点B

，在直线L上找一点P，使得AP+PB值最小。

做法：做A点关于l的对称点A`点，

再过A`点做AB垂直k于B点，交l

于P点，现在AP+PB值最小。

理由：对称后，AP=A`P,A`点到直线k

的最短距离为垂线段A`B，故AP+PB的最

小值为

A`B。

模型三：一定点，两条定直线

如图，在∠OAB