初中数学竞赛教研专题讲义设计：设主元或指定主元探解赛题.docx

初中数学竞赛教研专题讲义设计：设主元或指定主元探解赛题

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设主元或指定主元探解赛题

当遇到等式，连等式或多个等式问题时，求解是否会有一致的思路？今天就向大家推荐解决这类问题的一种比较有效的解题方法设主元或指定主元法，供学习时借鉴.

1.设主元转化成一元二次方程求根探比

例1若x＜0，y＜0，且x-6y=-,则的值为.

（第二十六届希望杯初三第2试）

解析：设x-6y=-=-m＜0,所以m＞0,所以xy=,=,所以=xy,所以，以x为主元，解得x=4y或x=9y，

所以的值为4或9.

点评：本题采用设主元法和指定主元法相结合的办法实现了比值的确定.

2.设主元转化成一元一次方程求代数式的值

例2若==，则x-2y+z的值为.

（第二十六届希望杯初三第1试）

解析：因为==，所以x+1=y+2=z+3设x+1=y+2=z+3=k，

所以x=k-1,y=k-2,z=k-3,所以x-2y+z=k-1-2k+4+k-3=0,所以x-2y+z的值为0.

点评：利用分数的性质，得到分数的分母相等是解题的第一要领，主动设元，用主元分别表示三个字母是解题的根本，代入求值是基本功的体现.

3.设主元转化成平方根或算术平方根求比值

例3若=≠0，则的值为（）

A.1B.0C.-1D.1或-1（第二十六届希望杯初二第2试）

分析：直接代入似乎无从着手，主动设元，把问题转化为求一个数的平方根和算术平方根问题，从而实现化陌生为熟悉，解答自然顺畅.

解：设=≠0=k＞0,则a是k的平方根，所以a=或a=-，是的算术平方根，

所以=，所以的值为1或-1，所以选D.

点评：正确判断a与k，与k之间的关系是解题的关键，只要判断正确，求解合理，答案自然水到渠成.

4.设主元转化成同底数幂的运算化简

例4化简的结果是()

A.B.C.D.（01年全国数学联赛试题）

分析：充分逆用同底数幂的乘法公式，进行初步变形，后主动设元，化简.

解：因为=，设=k，则原式==，

所以选C.

点评：正确利用同底数幂的乘法公式进行变形是解题的关键.主动设元让解题更贴近常态学习内容，容易提高正确率.

5.指定元表示其他字母求代数式的值

例5已知，则=.

（第二十六届希望杯初二第2试）

分析：要想计算，就必须把底数化成相同，其次，充分利用变式5的结论，确定准a,b,c之间的关系，求值求轻松了.

解：因为8=，所以==，同理可得，=，因为，

所以==，所以a=3b=6c,即a=6c,b=2c，所以原式==.

点评：掌握化不同底数为同底数的技巧，活用幂相等，底数同，则指数等性质，准确确定好a,b,c三者之间的关系，用最小量表示较大量，为解题创造条件.

6.指定常数元表示其他字母求代数式的值

例6已知=x+1,=y+1,且x≠y,则的值为.

（第二十六届希望杯初三第2试）

分析：已知的等式中都有常数1，可以把“1”看成未知数，分别表示其余字母，从而建立起新的联系，构造出解题需要的新条件，为破解题目奠定基础.

解：因为=x+1,=y+1,所以-x=-y，所以（x-y）(x+y-1)=0,因为x≠y，

所以x+y=1，所以=x+1+y+1+x+y=4.

点评：抓住常数1这个关键环节，把独立的x,y构建起新的等量关系，从而为问题的破解找到新的突破口，这也是解题的一种重要思想和方法.

练习：

已知a+b+c=1,=3.则=.

（第二十六届希望杯初二第2试）

参考答案：6.