《提分练习7 解相交线与平行线问题的九种技巧》 (1).docxVIP

《提分练习7解相交线与平行线问题的九种技巧》

典例剖析

例如图所示，若∠BCD=∠B+∠D，试说明AB与DE的位置关系.

解题秘方：欲得出AB与DE的位置关系，从已知条件中无法直接得出结论，需用构建基本图形法作辅助线将原图变化成含“三线八角”或“三线平行”等涉及平行的基本图形，再根据平行线的判定和性质进行说明.

解：AB∥DE.理由如下：

在∠DCB的内部作射线CF，使∠DCF=∠D，如图所示，则DE∥CF(内错角相等，两直线平行)

因为∠BCD=∠FCB+∠DCF=∠B+∠D，所以∠FCB=∠B，所以FC∥BA(内错角相等，两直线平行)，所以AB∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)

分类训练

技巧1基本图形(添加辅助线)法

1.【2022·荆州】如图，直线∥，AB=AC，∠BAC=40°，则∠1+∠2的度数是（）

A.60°

B.70°

C.80°

D.90°

技巧2分离图形法

2.若平行线EF，MN与相交线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？

技巧3平移法

3.如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的小路，余下部分绿化，小路的宽为2m.绿化的面积为多少？

技巧4方程思想

4.【2022·海珠区期末】如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O.

(1)若∠EOB=40°，则∠AOC=________；

(2)若∠BOE：∠BOD=2：3，求∠BOC的度数.

技巧5转化思想

5.如图，A，B，C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D.试说明：BD∥CE.

技巧6数形结合思想

6.如图，直线AB，CD被EF所截，∠1=∠2，∠CNF+∠BMN=180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.

技巧7分类讨论思想

7.已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系

(1)如图①，AB⊥DE，BC⊥EF.∠1与∠2的数量关系是：________.

(2)如图②，AB⊥DE，BC⊥EF.根据小学学习过的四边形内角和为360°可得∠1与∠2的数量关系是：________.

(3)由(1)(2)你得出的结论是：如果________，那么________.

(4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数.

技巧8建模思想

8.古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之二.为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角(图中∠ABC)的大小，张扬同学设计了两种测量方案：

方案1：作AB的延长线BD，量出∠CBD的度数，便知∠ABC的度数；

方案2：作AB的延长线BD，CB的延长线BE，量出∠DBE的度数，便知∠ABC的度数

你能解释他这样做的道理吗？

技巧9从特殊到一般思想

9.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC.

(1)当∠AOB=120°时，求∠EOF的大小；

(2)当OB绕点O旋转时，OE，OF仍为∠AOB，∠BOC的平分线，OE与OF有怎样的位置关系？请说明理由，

参考答案

1.B

点拨：过点C向左作CD∥l，利用平行线的性质可得∠1+∠2=∠ACB，再由AB=AC可得∠ACB=∠ABC，从而可求解.

2.解：如图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角.

3.解：如图，把小路分别平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分长方形EFCG的面积就是所求绿化的面积.

∵CF=32-2=30(m)，CG=20-2=18(m)，

∴长方形EFCG的面积=30×18=540()

∴绿化的面积为540

点拨：本题运用了平移法，先将小路平移成规则的图形，然后再求绿化的面积.

4.解：(1)50°

(2)∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°

∵∠BOE：∠BOD=2：3，

∴设∠BOE=2x，∠BOD=3x，

则2x+3x=90°，解得x=18°，故∠BOD=54°，

则∠BOC=180°-54°=126°.

5.解：∵∠1=∠2，∴AD∥BE(内错角相等，两直线平行)，

∴∠D=∠DBE(两直线平行，内错角相等)

又∵∠3=∠D，∴∠3=∠DBE(等量代换).

∴BD∥CE(内错角相等，两直线平行)

6.解：由对顶角相等，得∠CNF=∠END.

∵∠CNF+∠BMN=180°，

∴∠END+∠BMN=180°.

∴AB∥CD.∴∠EMB=∠END.

又∵∠1=∠2，

∴∠EMB+∠1=∠END+∠2，即∠EMP=∠ENQ.

∴MP∥NQ.

7.解：(1)∠1=∠2

(2)∠1+∠2=180°

(3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直；这两个角相等或互补

(4)设一个