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《指数》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

情境引入

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果分裂一次需要10min，那么，1个细胞1h后分裂成多少个细胞？

教师提出问题，学生思考后回答.

假设细胞分裂的次数为x，相应的细胞个数为y，则.

由题中条件可知，，那么，当时，，即1个细胞1h后分裂成64个细胞

上述例子中，x只能取正整数，教师给出x取负整数和0时的规定，接着提出问题：中的x能取分数和无理数吗？

通过生物学中熟悉的情境问题，吸引学生学习的兴趣，使学生快速投入到学习之中.

概念形成1

问题1：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个？立方根呢？

归纳：在初中的时候我们已经知道：如果，那么x称为a的平方根.

同理，如果，那么x称为a的立方根.

问题2：类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念

一般地，如果，那么称x为a的n次方根.

问题3：类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有几个？当n为奇数时呢？

a为正数：

a为负数：

0的n次方根为0，记为.

举例：16的4次方根为的5次方根为等等，而的4次方根不存在.

小结：一个数有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况

根式的概念：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数.

问题4：观察下列各式：

；

；

；

；

；

思考：对于，当n为奇数或偶数时，如何化成最简形式？

小结：当n为偶数时，化简得到的结果先取绝对值，再根据绝对值算具体的值，这样就能避免出现错误.

对于问题1，师生共同回顾初中所学过的平方根、立方根的概念.

对于问题2，教师点拨指导，由学生观察、归纳、概括出n次方根的概念.

对于问题3，让学生类比初中学过的平方根和立方根进行解答.

教师举出实例，加深学生对n次方根概念的理解.

教师给出根式的概念，学生理解并记忆.

教师提出问题，学生合作交流，思考，并作出猜想，教师给予总结.

学生对n为奇数和偶数进行充分讨论，通过探究得到：

对于，

当n为奇数时，；

当n为偶数时，

由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括能力.

通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，掌握n次方根的概念，培养学生掌握知识的准确性、全面性，同时培养学生分类讨论的能力，提升逻辑推理核心素养.

应用举例1

例1求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

解（1）.

（2）.

（3）.

（4）

.

学生思考、口答，教师板演、点评.

对于（1）（2），教师总结；对于（3）（4），教师强调：当n为偶数时，注意，然后再去绝对值符号.

通过例题的解答，进一步理解根式的概念、性质，提升学生的数学运算核心素养.

概念形成2

问题1：观察下面的变形

，得.

又由，得.

类似地，可以得到

由此你能得到什么结论？

问题2：观察以下式子，并总结出规律：

=1\*GB3①；

=2\*GB3②；

③.

小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.即当m能被n整除时，有（均为正整数）.

根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式.如

；

；

.

一般地，我们规定

（均为正整数）.

这就是正数a的正分数指数幂的意义.

仿照负整数指数幂的意义，我们规定：

（均为正整数），

且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.

由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即

，=1\*GB3①

，=2\*GB3②

，③

其中.

教师引导学生从“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式”，从而推广正数的分数指数幂的意义.

教师归纳有理数指数幂的运算性质，学生理解并记忆.

类比推理贯穿于高中整个学段，由类比推理，培养学生分析问题、自主学习的能力.

应用举例2

例2求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

解（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

例3用分数指数幂的形式表示下列各式：

（1）；

（2）；

（3）.

解（1）.

（2）.

（3）

.

教师展示例题，学生独立思考，完成解答.

教师找学生上台板演，并给予点评.

对于例2，教师也可以让学生尝试将分数指数幂化成根式的形式再进行计算，如，培养学生的发散思维能力.

通过例题的解答，进一步掌握分数指数幂的求值方法以及根式与分数指数幂的互化方法，提升学生的数学运算