2023-2024学年天津二十中高三（上）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年天津二十中高三（上）期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共50分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．已知全集，集合，1，2，3，4，5，，，则图中阴影部分表示的集合为

A．， B．，1， C．，2， D．，1，2，

2．设，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的

A．充要条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件

3．函数的部分图象大致为

A． B．

C． D．

4．已知，，，则，，的大小关系是

A． B． C． D．

5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份面包个数之和等于中间一份面包个数的四分之三，则中间一份面包的个数为

A．8 B．12 C．16 D．20

6．已知，则

A． B． C． D．

7．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是

①函数的最小正周期为；

②是函数图象的一个对称中心；

③函数图象的一个对称轴方程为；

④函数在区间上单调递增

A．1 B．2 C．3 D．4

8．如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为

A． B． C． D．

9．设为的边上一点，为内一点，且满足，，，则的最大值为

A． B． C． D．

10．设函数有4个不同的零点，则正实数的取值范围为

A．， B．， C． D．，

二、填空题（本大题共8小题，共40分）

11．已知复数满足，则．

12．的展开式中，的系数为．

13．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为．

14．已知且，则的值为．

15．已知等比数列的前项和为．若为和的等差中项，，则．

16．已知函数，，如果对任意的，都有成立，则实数的取值范围是．

17．在边长为2的菱形中，，若为的中点，则值为；若点为边上的动点，点是边上的动点，且，，，则的最大值为．

18．已知函数，当时，不等式的解集是；若关于的方程恰有三个实根，则实数的取值范围为．

三、解答题（本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（15分）已知的内角、、的对边分别为、、，满足已知．

（1）求角的大小；

（2）若，求的值；

（3）若的面积为，，求的周长．

20．（15分）如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点．

证明：平面；

（Ⅱ）求平面与平面的夹角的正切值；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

21．（15分）已知等差数列的前项和为，，，数列满足：，．

（1）证明：是等比数列；

（2）证明：；

（3）设数列满足：．证明：．

22．（15分）已知函数与有相同的最大值（其中为自然对数的底数）．

（1）求实数的值；

（2）证明：，，都有；

（3）若直线与曲线有两个不同的交点，，，，求证：．

2023-2024学年天津二十中高三（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共10小题，共50分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．已知全集，集合，1，2，3，4，5，，，则图中阴影部分表示的集合为

A．， B．，1， C．，2， D．，1，2，

解：集合，1，2，3，4，5，，或，

．

图中阴影部分表示的集合为，2，．

故选：．

2．设，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的

A．充要条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件

解：、是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，“

，”，若，可以与平面斜交，推不出，

若“，，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，

，，

“，”是“”的必要而不充分的条件，

故选：．

3．函数的部分图象大致为

A． B．

C． D．

解：函数满足，函数的奇函数，排除、，

因为时，，此时对应点在第一象限，所以排除，

故选：．

4．已知，，，则，，的大小关系是

A． B． C． D．

解：，

，

，

，，的大小关系是．

故选：．

5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把93个面