群的基本概念.ppt

不变子群（正规子群）一、定义：有子群N?G，若XNX-1=N或XN=NX（X为G中的任一元素）则N为群G的不变子群=第64页,共82页，星期六，2024年，5月二，性质1，不变子群必包括一个或几个完整的类（即不变子群由完整的类构成）证明：若任一群元A?N则XAX-1?N（∵XNX-1=N,A?N）即类C?N（∵XCX-1=C）(即类中若有一元素属于N，则整个类属于N)2,含一个或几个完整类的子群是不变子群证明：若子群S=C1+C2(以两个类为例)∵XC1X-1=C1，XC2X-1=C2∴XSX-1=X（C1+C2）X-1=XC1X-1+XC2X-1=C1+C2=S即S为不变子群*第65页,共82页，星期六，2024年，5月3,不变子群的两个陪集相乘（包括自乘）必为一个陪集或不变子群自身证明：N为G的不变子群NK和NL为N的陪集NKNL=NKN（K-1K）L=N（KNK-1）KL=NNKL=N（KL）（NN=N）若KL不在N中，则N（KL）是N的陪集若KL在N中，则N（KL）是N自身*例D3群中，不变子群N={E，D，F}两陪集的乘积(NA)(NB)={E,D,F}A{E,D,F}B={E,D,F}{E,D,F}AB={E,D,F}(AB)[提问:是因为D3群是可换群吗?][答案:是因为{E,D,F}是不变子群](AB=D)={E,D,F}D(仍是N,={E,D,F})第66页,共82页，星期六，2024年，5月4,不变子群的判断判别条件:（1）由完整的类构成；(缺一不可)（2）其阶是G群阶的因子(子群阶定理)[提问：下列集合中哪些是D3群的不变子群?]{E,A},{E,D},{E,A,B},{E,D,F},{A,B,C}][答案：{E，D，F}]({A,B,C}缺E,其余不是完整类)][提问：{E，A，B，C}是否为不变子群？][答案：不是，其阶4，不是g=6的因子]*第67页,共82页，星期六，2024年，5月商群一，定义:若不变子群N?G，则以N及其陪集为群元，以其乘法为群乘,构成商群，记为G/N，其阶m=g/s，其中s和g为N和G的阶二,证明G/N={N，NK2，NK3-------NKm}确实是群1,单位元：N为单位元证明:N（NKi）=NNKi=NKi同理（NKi）N=N（KiN）=N（NKi）=Nki故N为单位元2,逆元：NKi的逆元为NKi-1，即(NKi)-1=NKi-1证明：（NKi）（NKi-1）=NKi