备战2025年高考数学压轴题训练专题18平面向量(选填压轴题)(学生版+解析).docxVIP

6．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，.

(1)若，，求与夹角的余弦值；

(2)若，求的取值范围；

(3)若点，且满足，求的最小值.

二、向量数量积（定值，最值，范围）

1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知向量，向量，且，点在以原点为圆心，2为半径的圆上，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

2．（23-24高一下·江西景德镇·期末）在中，，，，为边上两点，且，则的最小值为.

3．（23-24高一下·广西来宾·期末）等边的边长为6，设其内心为，若平面内的点满足，则的最小值为．

4．（23-24高一下·重庆·期中）已知等腰直角的斜边长为2，其所在平面上两动点满足，若，则的最大值为.

5．（23-24高一下·天津·期末）如图，梯形且，，则，在线段BC上，则的取值范围为.

6．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则.

三、向量夹角（定值，最值，范围）

1．（2024·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．（2024·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为．

4．（2024·湖南怀化·三模）若是两个非零向量，且则与的夹角的取值范围是.

5．（23-24高一·全国·课后作业）已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为.

四、向量的其它问题

1．（2024·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．（2024·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为．

4．（2024·湖南怀化·三模）若是两个非零向量，且则与的夹角的取值范围是.

5．（23-24高一·全国·课后作业）已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为.

专题18平面向量（选填压轴题）

目录

TOC\o1-1\h\u一、向量模问题（定值，最值，范围） 1

二、向量数量积（定值，最值，范围） 8

三、向量夹角（定值，最值，范围） 14

四、向量的其它问题 18

一、向量模问题（定值，最值，范围）

1．（23-24高一下·福建厦门·期末）向量满足，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，可得，求出，设过的圆，求出半径，设，求出、可得答案.

【详解】设，因为，

所以，

因为，所以.

设过的圆，半径为，则，，

所以，

又，所以，且垂直平分，

设，则，

，所以，

则的最大值为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是借助图形找到之间的关系.

2．（23-24高一下·四川内江·期末）已知向量，向量的模长均为2，且.若向量，且，则的最大值是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意首先得，然后，结合约束条件可得，进一步利用三角换元、三角函数性质以及三角恒等变换即可求解.

【详解】因为向量，向量的模长均为2，且，所以，

解得，

不妨设，

所以，

因为，

所以，整理得，

设，

所以

，其中，

所以，等号成立当且仅当，

综上所述，的最大值是.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：关键在于适当转换约束条件得出，结合向量的模长公式即可求解.

3．（23-24高一下·河南三门峡·期末）已知在上的投影向量为，则的取值范围为．

【答案】

【分析】给已知等式两边平方化简可求出和，然后根据投影向量的计算公式求解即可.

【详解】因为，所以，

即，，

所以，，

所以，，

因为在上的投影向量为，所以，

所以，

因为，所以和为非零向量，所以，

因为，所以，

所以，所以

所以，所以，即，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查数量积的几何意义，解题的关键是对已知等式两边平方化简后，两式相结合求出的范围，考查计算能力，属于较难题.

4．（23-24高二下·重庆·期中）已知平面非零向量满足:，且与的夹角为，则在所有的情况中，的