高中数学新教材选择性必修第二册《4.2等差数列》课件.pptxVIP

§4.2.1等差数列的概念

目标定位学习目标和重难点

【学习目标】

1.理解等差数列的定义；

2.探索并掌握等差数列的通项公式.

3.掌握等差中项的概念，深化认识并能灵活运用.

【重、难点】

重点：1.理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；2.体会等差数列与一次函数的联系.

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.

知识链接

什么是递推法和递推公式?

答：通过给出数列任意相邻两项之间的数量关系给出数列的方法叫做递推法，其中任意相邻两项之间的数量关系式称为递推公式.

自主探究(一)要点识记

等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，数列的每一项与前一项的差都

等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

获取新知(二)数列的通项公式

问题1.如何用符号表示数列{an}是公差为d的等差数列?答：an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d(n≥1)

等差数列的通项公式

an=a₁+(n-1)d

自主探究(一)要点识记

问题2.一个数列至少要有多少项?等差数列呢?

答：一个数列至少有1项，等差数列至少要有3项.

当三个数a,A,b成等差数列时，A叫做a与b的等差中项.

特别地，等差数列中，从第2项起，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2a,=an-1+an+1

新知探究(二)数列的通项公式

问题3.若已知等差数列{a,}的首项a₁和公差d,你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式?

【解析】方法1)归纳法

根据等差数列的定义，a₂-a₁=d,a₃-az=d,

a₄-a₃=d,....

∴a₂=a₁+d,a3=a₂+d=a₁+2d,a₄=a₁+3d,..,

an=a₁+(n-1)d.

新知探究(二)数列的通项公式

方法2)累加法

根据等差数列的定义，an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,..,a₂-a₁=d,

将以上n-1个等式相加，得(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a₂-a₁)=(n-1)d

即an一a₁=(n-1)d,即an=a₁+(n-1)d.

新知探究(二)数列的通项公式

方法3)迭代法

根据等差数列的定义，

an=an-1+d=(an-2+d)+d

=an-2+2d=(an-3+d)+2d=an-3+3d=…=a₁+(n-1)d

新知探究(一)数列的表示方法

例1.判断下列数列是否为等差数列?

(1)an=3n-1(2)an=n²+n

【解析】(1)∵对任意的n∈N*,an+1-an=[3(n+1)-1]

-(3n-1)=3(为常数)

∴该数列为等差数列.

(2)∵当n≥2时，an-an-1=(n²+n)-[(n-1)²+

(n-1)]=2n(不是常数)

∴该数列不是等差数列.

新知探究(二)数列的通项公式

【解题反思】如何判断数列是否为等差数列?

答：判断一个数列是否为等差数列，只需判断an+1-an(n≥1)

或an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.变式1.已知数列：

①48,53,58,63;②18,15.5,13,10.5,8.5,5;

③1,2,4,6,8,10,…;④2,2,2,2,2,..其中是等差数列的是①②④

新知探究(二)等差中项

π

例2.在△ABC中，若B是A与C的等差中项，则B=3

【解析】∵B是A与C的等差中项

∴A+C=2B

又A+B+C=π

∴3B=π,即

新知探究(二)数列的通项公式

【解题反思】

(1)若A是a与b的等差中项，那么它们之间有什么样的数量关系呢?

(2)当a,A,b满足什么样的数量关系时，A是a与b的等差中项?

答：(1)若A是a与b的等差中项，则(或2A=a+b).

(2)若(或2A=a+b),则A是a与b的等差中项.

差数列，求a,b,c

【解析】∵—1,a,b,c,7∴b是一1与7的等差中项又a是一1与3的等差中项

c是3与7的等差中项

∴a=1,b=3,c=5.

新知探究(二)数列的通项公式

变式2.在—1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等