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《二项分布》教学设计一

教学设计

一、情境引入

猜数游戏:有八组数字,每组数字仅由01或10构成,同学们至少猜对四组才为胜利(请两名学生演示).

问题1:前一次猜测的结果是否影响后一次的猜测?也就是每次猜测是否相互独立?

问题2:游戏对双方是否公平?能否从概率角度解释?

设计意图:活跃课堂气氛,充分调动学生的热情,使学生在不知不觉中进入教师设计的教学情境中,为本节课的学习做有利的准备,同时,让学生初步体验独立重复试验模型,为定义的提出做好铺垫.

二、新知探究

(一)实例分析

问题1:某射击运动员进行了4次射击,假设每次射击击中目标的概率都为,且每次命中目标与否是相互独立的.用X表示这4次射击中命中目标的次数,如何表示X的分布列和均值呢?

设计意图:从实例出发,体会数学的应用性.

思考:(1)一共进行了几次射击?每次射击有几种结果?

(2)每次射击命中的概率是多少?它们是相同的吗?

(3)每次射击是否相互独立?

(4)X可以取哪几个值?

(5)如何确定X取每一个值的概率?

【师生活动】学生思考,回答完思考问题后小组讨论分布列的写法.教师选出一名学生到黑板上写出分布列.师生共同讨论正确与否.

结论:(1)一共进行了4次射击,每次射击有两种结果:命中目标或没有命中目标.

(2)每次射击命中的概率是,它们是相同的.

(3)每次射击相互独立.

(4)命中目标的次数X的可能取值是0,1,2,3,4.

(5)用事件Ak(k=1,2,3,4)表示“第k次射击命中目标”,用事件Bk(k=0,1,2,3,4)表示“运动员进行4次射击,命中目标k次”.

当X=0,即4次都没有命中目标(事件B0发生)时,由于,每次射击都是独立的,从而

当X=1,即4次射击恰有1次命中目标(事件B1发生)时,由于从而

事实上,当X=k(k=0,1,2,3,4)时,4次射击有k次命中目标,有(4-k)次没有命中目标(事件Bk)发生,这包含种情况.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,可得

这样,X的分布列就可以写成如下表的形式:

X

0

1

2

3

4

P

设计意图:给学生充分的时间独立思考,培养学生良好的数学习惯.通过辨析、讨论放大认知冲突,进一步激发学生的学习兴趣.同时给学生提供自我展示的机会.

【师生活动】教师通过出示树状图,帮助学生进一步体会分布列,如下图.

设计意图:以形助数,以数解形.通过树状图的展示与探讨,使学生真正地理解组合数,k=0,1,2,3,4的缘由,为给出二项分布的定义,并推导出二项分布的概率计算公式作铺垫.

问题2:问题1可以推广到一般形式,如何推广?

【师生活动】学生先小组讨论,然后师生共同回答教材第206页的思考交流.

设计意图:由特殊到一般,引出n重伯努利试验的概念,符合“学生为主体,教师为主导”的现代教育观点,也符合学生的认知规律.同时突出本节课重点,也突破了难点.

(二)抽象概括,归纳概念

在研究随机现象时,经常要在相同条件下重复做大量试验来发现规律.

1.n重伯努利试验

一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.

2.二项分布

一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则X的分布列可以表示为

若一个随机变量X的分布列如上所述,则称X服从参数为n,p的二项分布,简记为X~B(n,p).

3.两点分布与二项分布的关系

两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况.

【师生活动】师生共同归纳相关概念,学生理解.

设计意图:通过具体问题的分析,概括、总结出二项分布的概念,突破重难点,提升学生的数学抽象与逻辑推理等核心素养.

问题3:(1)二项分布的背景是什么?

(2)事件发现的结果有几种?(事件A只有发生(概率为p)和不发生(概率为1-p)两种情况)

(3)随机变量X的含义是什么?

(4)如何快速记忆公式?(从为什么叫二项分布出发)

【师生活动】教师提出问题,学生思考,小组讨论并派小组代表回答.

(三)概念辨析

问题4:下列随机变量X服从二项分布吗?如果服从二项分布,其参数n,p分别是什么?

(1)抛掷n枚均匀的相同骰子,X表示“掷出的点数为1”的骰子数;

(2)n个新生婴儿,X表示男婴的个数;

(3)某产品的次品率为p,X表示n个产品中的次品的个数;

(4)女性患色盲的概率为0.25%,X表示任取n个女性中患色盲的人数,

【师生活动】教师提出问题,学生回答,共同订正.

问题5:你是从哪几个方面进行辨析二项分布模型的?

【师生活动】教师提出问题,学生小组讨论回答.

结论:

从以下三个方面进行辨析:

(1)随机试验是否是n重伯努利试验?三个要点