专题01 二次函数与反比例函数（考点清单+16个考点清单题型解读）（解析版）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）.docx

清单01二次函数与反比例函数

（16个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】二次函数

1、二次函数的定义：

一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且

2、二次函数的三要素：

（1）自变量的最高次数必须是2；

（2）等号右边的ax2+bx+c

（3）二次项系数a不等于0.

【清单02】根据实际问题列二次函数表达式

在实际问题中，列二次函数表达式的一般步骤：

审清题意：

找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言；

找相等关系：

分析常量和变量之间的关系，列出等式；

列二次函数表达式：

设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式；

确定自变量的取值范围：

根据自变量所表示的实际意义确定其取值范围.

【清单03】二次函数y=a

函数

y=ax2+

a的符号

a0

a0

图象

开口方向

向上

向下

对称轴

直线x=-

顶点坐标

-

增减性

当x-b2a时，y随

当x-b2a时，y随

当x-b2a时，y随

当x-b2a时，y随

最值

当x=-b2a

当x=-b2a

【清单04】二次函数y=ax2+bx+c

二次函数的y=ax2+bx+c中，

字母（或式子）

符号

特征

a

a0

开口向上

a0

开口向下

-

b=0

对称轴为y轴

ab0(a,b

对称轴在y轴左侧

ab0(a,b

对称轴在y轴右左侧

c

c=0

图象过原点

c0

图象与y轴正半轴相交

c0

图象与y轴负半轴相交

【注意】对于二次函数y=

（1）当x=1时，y=a+b+c，此时：

若y=0，则a+b+c=0；

若y0，则a+b+c0；

若y0，则a+b+c0.

（2）当x=-1时，y=a-b+c，此时：

若y=0，则a-b+c=0；

若y0，则a-b+c0；

若y0，则a-b+c0.

【清单05】用待定系数法求二次函数的表达式

方法名称

函数表达式

适用情形

一般步骤

待定系数法

一般式：

y

已知二次函数图象上任意三个点的坐标或x，

顶点式：

y

已知抛物线的定点坐标或对称轴和最值

交点式：

y=a(x-

其中x1，x2是抛物线与

已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标

【清单06】二次函数与一元二次方程之间的关系

1、二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系：

一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴由交点，交点的横坐标是x0，那么当x=x0

2、二次函数与一元二次方程的联系与区别：

b

b

b

一元二次方程ax

有两个不等的实数根

x=

有两个相等的实数根

x

没有实数根

二次函数y=ax

a0

a0

抛物线与x轴的交点

（x1，0

（-b

没有交点

【清单07】二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系

二次函数y=ax2+bx

1、利用二次函数y=ax2+

（1）作出二次函数y=ax2+bx

（2）观察图象，函数图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0

（3）交点横坐标即为一元二次方程ax2

2、利用二次函数y=ax2的图象与直线

（1）将方程ax2+bx+c=0

（2）在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax

（3）公共点的横坐标即为一元二次方程ax2

【清单08】二次函数与一元二次不等式的关系

求不等式ax2+bx+c0(a≠0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y0

b2

b

b

b

ax2+bx+c0(a0)

ax

两个等实数根

x=

两个相等实数根

x

没有实数根

一元二次不等式的解集

a

xx1

x≠-

全体实数

a

x

无解

无解

【清单09】用二次函数解决实际问题

1、一般步骤：

（1）审：仔细审题，厘清题意；

（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；

（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式；

（4）解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题；

（5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论.

【清单10】反比例函数的定义

1、定义：

一般地，表达式形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0

2、反比例函数的三种表达形式：

（1）y=k

（2）y=kx

（3）xy=k（k为常数，且k≠0）

【注意】反比例函数的表达式y=kx中，无论x，y怎