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课时规范练56
《素养分级练》P385
1.(山东泰安三模)已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),若P(X2)·P(X4)=136
A.13 B.14 C.1
答案:A
解析:因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),由对称性可知,P(X2)=P(X4),又P(X2)·P(X4)=136,所以P(X2)=P(X4)=16,故P(2X3)=
2.(山东济南历城二中检测)从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽到的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=()
A.2 B.1 C.3 D.4
答案:C
解析:ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=C13
P(ξ=1)=C2
P(ξ=2)=C2
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
22
12
1
于是E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135
3.(东北师大附中高三开学考试)下图是一块高尔顿板示意图.在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2,3,4,5,6,用X表示小球落入格子的号码,假定底部6个格子足够长,投入160粒小球,则落入3号格的小球大约有粒.?
答案:50
解析:设A=“向右下落”,则A=“向左下落”,且P(A)=P(A)=12
∵小球下落过程中共碰撞5次,
∴Y~B5,12,
∴P(Y=k)=P(X=k+1)=C5k12k1-125-k=C5
∴P(X=3)=C52125=5
4.(广东广州一模)某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目,并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用,为了解“AI作业”对学生学习的促进情况,该公司随机抽取了200名学生,对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查,样本调查结果如下表:
掌握情况
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生,用ξ表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数,求ξ的分布列和数学期望;
(2)用样本频率估计概率,从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生,用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”知识点,用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”知识点,用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”知识点,用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”知识点.比较方差D(X)和D(Y)的大小关系.
解:(1)依题意,ξ=0,1,2,
且P(ξ=0)=C20
P(ξ=1)=C20
P(ξ=2)=C20
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
26
80
19
故E(ξ)=1×80177+2×19
(2)由题意,易知X服从二项分布X~B1,45,D(X)=45×15=425,Y服从二项分布Y~B1,
5.(福建厦门模拟)某公司全年圆满完成预定的生产任务,为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力,公司决定在联欢晚会后,拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励,规定:每位员工从一个装有4张奖券的箱子中,一次随机摸出2张奖券,奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额.
(1)若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元,其余3张均为40元,试比较员工获得80元奖励与获得120元奖励的概率的大小;
(2)公司对奖励总额的预算是6万元,预定箱子中所装的4张奖券有两种方案:第一种方案是2张面值20元和2张面值100元;第二种方案是2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡,请问选择哪一种方案比较好?并说明理由.
解:(1)用X表示员工所获得的奖励额.
因为P(X=80)=C32C
所以P(X=80)=P(X=120).
故员工获得80元奖励与获得120元奖励的概率相等.
(2)第一种方案中4张奖券的面值为20,20,100,100,
设员工所获得的奖励额为X1,则X1的分布列为
X1
40
120
200
P
1
2
1
所以X1的数学期望为E(X1)=40×16+120×23+200×16=120,X1的方差为D(X1)=(40-120)2×16+(120-120)2×23
第二种方案中4张
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