《直线与圆的位置关系》同步学案 (3).docxVIP

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《直线与圆的位置关系》同步学案

问题情境导入

“大漠孤烟直,长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句,它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,观察下面三幅太阳落山的图片,你能从中得到直线与圆的位置关系吗？

新课自主学习

自学导引

一般地,已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)和圆C:.

(1)圆心C(a,b)到直线l的距离d=______.

当______时,直线l与圆C相交;

当______时,直线l与圆C相切:

当______时,直线l与圆C相离.

(2)由方程组解的情况来判断直线l和圆C的位置关系:

当方程组有两组不同的实数解时,直线l与圆C______;

当方程组只有一组实数解(两组相等的实数解)时,直线l与圆C______;

当方程组没有实数解时,直线l与圆C______.

答案

(1)drd=rdr

(2)相交相切相离

预习测评

1.直线3x+4y+12=0与圆的位置关系是()

A.相交且直线过圆心

B.相切

C.相离

D.相交但直线不过圆心

2.若直线y=x+a与圆相切,则a的值为()

A.

B.

C.1

D.±1

3.直线l:y－1=k(x－1)与圆的关系是()

A.相离

B.相切或相交

C.相交

D.相切

4.若PQ是圆中的弦,PQ的中点是A(1,2),则直线PQ的方程是()

A.x+2y－3=0

B.x+2y－5=0

C.2x－y+4=0

D.2x－y=0

5.若直线x－y－2=0被圆所截得的弦长为,则实数a的值为()

A.－1或

B.1或3

C.－2或6

D.0或4

答案

1.

答案:D

解析:易得圆心不在直线上.圆心(1,－1)到直线3x+4y+12=0的距离.

2.

答案:B

解析:由题意得,所以.

3.

答案:C

解析:直线l过定点A(1,1),因为,所以,点A在圆上.因为直线x=1过点A且为圆的切线,又直线l的斜率存在,所以直线l与圆一定相交.

4.

答案:B

解析:结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2),且和直线OA垂直,故其方程为,整理得x+2y－5=0.

5.

答案:D

解析:由得圆心(a,0)到直线x－y－2=0的距离,即,解得a=0或4.

新知合作探究

探究点1直线与圆的位置关系

知识详解

1.直线与圆的位置关系

直线与圆有两个公共点时,称直线与圆相交,且称直线为圆的割线.直线与圆只有一个公共点时,称直线与圆相切,且称直线为圆的切线,称公共点为切点.直线与圆没有公共点时,称直线与圆相离.

2.直线与圆的位置关系的判定

(1)代数法

判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解,直线l与圆C有公共点.

有两组不同的实数解时,直线l与圆C相交;

有一组实数解时,直线l与圆C相切;

无实数解时,直线l与圆C相离.

(2)几何法

由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的大小关系判断:

当dr时,直线l与圆C相交;

当d=r时,直线l与圆C相切;

当dr时,直线l与圆C相离.

典例探究

例1已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4,试判断直线与圆的位置关系.

解析解决本题的方法主要有两个,其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系;其二是引入一元二次方程,利用方程的判别式来解决.

答案方法一:因为x2+y2=4,

所以圆心为(0,0),半径r=2.

又因为y=2x+1,所以圆心到直线的距离为.

所以直线与圆相交.

方法二:因为所以,

即.

判别式.

所以直线与圆相交.

方法总结在判断直线与圆的位置关系时,常用几何法,即比较圆心到直线的距离和半径的大小,而不用联立方程.

变式训练1已知直线mx－y－m－1=0与圆.当m为何值时,直线与圆

(1)有两个公共点？

(2)只有一个公共点？

(3)没有公共点？

答案方法一:将直线与圆的方程联立,化简整理得.

因为,所以当?0,即m0或时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;

当?=0,即m=0或时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;

当?0,即时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.

方法二:已知圆的方程可化为,

即圆心为(2,1),半径r=2.

圆心(2,1)到直线mx－y－m－1=0的距离

.

当d2,即m0或时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;

当d=2,即m=0或时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;

当d2,即时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.

探究点2圆的切线方程的求法

知识详解

1.求圆的切线方程的两种情况

(1)点M在圆C上,如图.

方法一:利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于－1,即求.

方法二:利用圆心C到直线