专题05 解直角三角形（考点清单，知识导图+3个考点清单+5种题型解读）原卷版-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）.docx

专题05解直角三角形（考点清单，知识导图+3个考点清单+5种题型解读）

【清单01】解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.

【清单02】直角三角形的边角关系

中，

【清单03】解直角三角形的应用

（1）仰角与俯角

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；

（2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作，即；坡度表示形式：.

坡面与水平面的夹角叫坡角，记为；坡度与坡角的关系：.

【考点题型一】解直角三角形（共7小题）

【例5】（2023秋?宝山区期中）已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与轴正半轴的夹角为，点在射线上，如果，且，那么点的坐标是

A． B． C． D．

【变式1-1】（2023秋?松江区期中）在中，，，，则的长为

A． B． C． D．

【变式1-2】（2022秋?青浦区校级期末）如图，在边长为1个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，那么的正切值为．

【变式1-3】（2022秋?虹口区期中）已知中，，，，那么的长是．

【变式1-4】（2023秋?浦东新区校级期中）如图，在中，，，，，则线段的长．

【变式1-5】（2023?徐汇区二模）如图，、分别是边上的高和中线，已知，．

（1）求的长；

（2）求的值．

【变式1-6】（2023秋?宝山区期中）如图，中，，，是边的中点，联结．

（1）已知，求的长；

（2）求的值．

【考点题型二】解直角三角形的应用（共6小题）

【例2】（2024?浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为

A． B． C． D．

【变式2-1】（2024?浦东新区三模）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．

（1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点到地面的距离；

（2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，

【变式2-2】（2024?上海模拟）如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米．

（1）求的度数；

（2）求图中健身区（阴影部分）的面积．

【变式2-3】（2023秋?虹口区期末）如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知，，．当与形成的为时，求的长．（参考数据：，，；，，

【变式2-4】（2024?杨浦区三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角．

如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计）．已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为．（参考数据：，

（1）点到平面镜的距离是厘米．

（2）移动挡板，使空隙的长度是20厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数．

（3）在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是厘米．

【变式2-5】（2023?奉贤区三模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，，，，，的半径均为，为三角轮的中心，，．如图2，当轮子，及点都放置在水平地面时，恰好与的最高点重合．此时，的高度为，则；如图3，拉动，使轮子，在楼梯表面滚动，当，且，，三点共线时，点与的垂直高度差为．

【考点题型三】解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共7小题）

【例3】（2024?徐汇区二模）小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是米．

【变式3-1】（2023秋?杨浦区期末）小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．

【变式3-2】（2024?徐汇区三模）一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为（用的锐角三角比表示）．

【变式3-3】（2022秋?崇明区期末）如图，有一斜坡长，坡顶离地面的高度为，求的长度及此斜坡的倾斜角的度数．

【变式3-4】（2024?宝山区二模）小明家院内靠墙安装了一个