浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学Word版含解析.docx

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数学试卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题）

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.的值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.

【详解】

.

故选：A

2.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（）

A B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由斜二测画法的规则得到平面图形，即可得到原图形的面积.

【详解】依题意不妨令直观图如下所示：

则还原直观图为原图形，如图所示，

因为，所以，

还原回原图形后，，，所以原图形面积为.

故选：B

3.已知在中，，则（）

A. B. C.或 D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理计算可得.

【详解】由正弦定理，即，解得，

又，所以或.

故选：C

4.已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆柱的表面积公式计算可得.

【详解】依题意圆柱的底面半径，高，

所以圆柱的表面积.

故选：B

5.已知正方形的边长为，点满足，则（）

A.4 B.5 C.6 D.8

【答案】C

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进行求解即可.

【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，

则，，，可得，

点满足，所以．

故选：C.

6.以下说法正确的是（）

A.是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个

B.若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行

C.平面内不共线的三点到平面的距离相等，则

D.空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个

【答案】D

【解析】

【分析】当与相交时，不存在过且与平行的平面，即可判断A；举例说明即可判断BC；满足条件的平面有两个，且在的异侧，即可判断D.

【详解】A：当与相交时，不存在过且与平行的平面，故A错误；

B：三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，

当三条平行线段不共面时，两平面一定平行，故B错误；

C：当与相交时，也存在平面内不共线的三点到平面的距离相等，故C错误；

D：空间中三点构成边长为2的正三角形，与这三点距离均为1的平面恰有两个，

且这两个平面分别在的异侧，故D正确.

故选：D

7.已知满足，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解．

【详解】已知满足，

设、、对应的边分别为，，，

则，

即，

则，

当且仅当时取等号，

即的最小值为．

故选：D．

8.已知正四棱锥的内切球半径为，则当四棱锥的体积最小时，它的高为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】设正四棱锥底面边长为2a，，高为h，根据正四棱锥的结构特征结合三角形相似推出，表示出棱锥的体积，结合导数确定棱锥体积最小时，由此即可求得答案.

【详解】如图，设正四棱锥的底面的中心为F，内切球球心为O，

则O在四棱锥的高上，

设内切球与侧面相切于点G，设E为的中点，连接，则G在上，

且，则∽，

设正四棱锥的底面边长为2a，，高为h，

则，解得，

故四棱锥的体积为，

则，

当时，，V在上单调递减，

当时，，V在上单调递增，

故时，V取得最小值，此时，

故选：C

二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.以下关于向量的说法正确的有（）

A.

B.若，则

C.

D.若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直逐一判断即可．

【详解】对于选项A，当，，均为非零向量时，

不妨设，，

则，，即选项A错误；

对于选项B，若，两边平方化简得

，则，即选项B正确；

对于选项C，，即选项C正确；

对于选项D，若，

若，则与的位置关系无法确定，即选项D错误．

故选：BC．

10.已知为复数，，则以下说法正确的有（）

A.

B.

C.互为共轭复数

D.若，则的最大值为6

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合复数模、共轭复数的意义计算判断AC；举例说明判断B；利用复数的几何意义求出最大值判断D.

【详解】设