专题07等比数列的概念与前n项和（考点清单，知识导图+2考点清单+10题型解读）（原卷版）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）.docx

专题07等比数列的概念与前n项和

【清单01】等比数列的概念与通项公式

一．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，

这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．

二．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±eq\r(ab).

三．等比数列的通项公式

等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.

四．等比数列的性质

1.若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．

特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．

2.在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.

3.数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．

4.在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.

5.当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．

【清单02】等比数列的前n项和

一．等比数列的前n项和公式

已知量

首项、公比与项数

首项、公比与末项

求和公式

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1?1－qn?,1－q)?q≠1?，,na1?q＝1?))

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)?q≠1?，,na1?q＝1?))

二．等比数列前n项和的性质

1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．

2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．

3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：

①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；

②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－?－q?)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．

【考点题型一】等比数列基本量的计算

方法总结：等比数列前n项和运算的技巧

(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．

(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一个整体．

(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

【例1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知等比数列{an}满足an+1=4a

A．12 B．1 C．4 D．

【变式1-1】（22-23高二上·江苏淮安·期中）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3=7

A．4 B．-2 C．2 D．

【变式1-2】（22-23高二上·江苏连云港·期中）记Sn为等比数列an的前n项和．若S2=3,S

A．24 B．48 C．39 D．36

【变式1-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）在等比数列{an}中，已知a1a3

【变式1-4】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列an的前n项和为Sn，若a2+

【考点题型二】等比数列的通项公式

方法总结：定义法:先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式。

【例2】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，数列b

A．2n-3 B．2n-2

【变式2-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知数列an的前n项之和为Sn，满足Sn=2Sn-1n

【变式2-2】（20-21高二上·江苏·期中）设an是正项等比数列，且3a3+2a4=

【变式2-3】（21-22高二上·江苏徐州·期中）

(1)已知数列an满足a1=1,

(2)已知数列an中，a1=2,a2=3，其前n项和Sn满足

【变式2-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）设an是公差不为0的等差数列，a1=2，a7为a

(1)求an

(2)设bn=2n，求数列an

【考点题型三】等比数列的前n项和

方法总结：注意:(1)公式的推导方法是错位相减法，即先求前n项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减