《空间图形的表面积》课时同步详解 (1).docVIP

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《空间图形的表面积》课时同步详解

问题情境导入

我们已经学习过基本立体图形，知道有关几何体的结构特征，下图中两个几何体的结构特征如何？这两个几何体的表面积又如何得到？

新课自主学习

自学导引

1.几种特殊的多面体

（1）直棱柱：侧棱和底面_____的棱柱叫作直棱柱.直棱柱的_____就是直棱柱的高.

（2）正棱柱：底面为_____的直棱柱叫作正棱柱.

（3）正棱锥：如果一个棱锥的底面是_____，并且顶点在底面的射影是_____,那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都_____，侧面均为全等的_____.

（4）正棱台：_____被平行于底面的平面所截_____和_____之间的部分叫作正棱台.正棱台的侧棱长都_____，侧面均为全等的_____.

2.几种简单几何体的侧面展开图与侧面积.

几何体

直观图

侧面展开图

侧面积

直（正）

棱柱

_____

正棱锥

_____

正棱台

_____

圆柱

__________

圆锥

__________

圆台

__________

答案

1.（1）垂直侧棱长

（2）正多边形

（3）正多边形底面中心相等等腰三角形

（4）正棱锥截面底面相等等腰梯形

2.

预习测评

1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是（）

A.

B.

C.

D.

2.棱长均为1的正四面体的表面积是（）

A.

B.

C.

D.4

3.如图所示,圆台的上、下底面半径和高的比为,母线长为10,则圆台的侧面积为（）

A.

B.

C.

D.

4.若正三棱柱的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱柱的侧面积为_____.

答案

1.

答案：C

解析:底面半径为1,高为1,侧面积.

2.

答案：A

解析：由题意知该正四面体每一个面均为边长为1的等边三角形,其面积为,因此,该正四面体的表面积是.

3.

答案：B

解析:圆台的轴截面如图,设上底面半径为,则下底面半径为,高为.因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,有,解得,所以.

4.

答案：

解析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为1，所以此三棱柱的侧面积为.

新知合作探究

探究点1棱柱、棱锥、棱台的侧面积

知识详解

几何体

侧面展开图

侧面积公式

直棱柱

正棱锥

正棱台

典例探究

例1正四棱柱的侧棱长为5,它的对角线的长为,则这个棱柱的侧面积是（）

A.

B.60

C.78

解析如图所示,正四棱柱的侧棱长为,对角线长为,则,解得,所以.

答案B

变式训练1正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为,则该四棱锥的侧面积为（）

A.32

B.48

C.64

D.

答案A

点拨如图所示,正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成.因为,所以斜高所以.

探究点2圆柱、圆锥和圆台的侧面积

知识详解

几何体

侧面展开图

侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

典例探究

例2圆台的上、下底面半径分别为和.它的侧面展开图扇环的圆心角为,那么圆台的表面积是_____（结果中保留）．

解析如图所示,设圆台的上底面周长为,

因为扇环的圆心角是,所以,

所以,同理可得,所以

答案

变式训练2一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是（）

A.

B.

C.

D.

答案A

点拨设圆柱的母线长为,则,所以,则圆柱的侧面积为,表面积为,所以圆柱的表面积与侧面积的比是.

探究点3组合体的表面积

知识详解

求柱体、锥体和台体的组合体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.

典例探究

例3如图所示，已知直角梯形ABCD，，

,求以所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.

解析根据题意可知所得几何体是一个圆台,求出圆台的表面积即可.

答案以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径是,下底面半径是,母线长为,所以该几何体的表面积为.

变式训练3在例3题设条件不变的情况下,求以所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.

答案以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示,

其中圆锥的高为,圆柱的母线长为,

故该几何体的表面积为.

易错易混解读

例一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）

A.

B.

C.21

D.18

错解B或C或