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2023年北京高考数学卷最后一题

一、题目概述

2023年北京高考数学卷的最后一题是一道综合性的数学题，涉及到了

多个知识点和解题思路。该题要求学生对已经学过的数学知识进行整

合和应用，考查了学生的数学综合运用能力和解题技巧。下面将对这

道题目进行详细的分析和解答。

二、题目内容

2023年北京高考数学卷最后一题内容如下：

已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，其中x∈[0,π]。

（1）求函数f(x)的最大值和最小值。

（2）设函数g(x)=(f(x))^2-2f(x)+2，则g(x)的最小值为多少？

（3）求证当x∈[0,π]时，有f(x)≥√2。

三、解题分析

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要完成这道题目，首先要熟练掌握三角函数的性质和运用，能够对给

定函数进行求导和最值的求解。在解答第（2）小题时，需要运用到函

数的平方和完成平方配方法。在证明部分需要运用三角函数的性质和

相关不等式进行推导。

下面将逐一进行解答。

四、解题步骤

（1）求函数f(x)的最大值和最小值

对于f(x)=sin(x)+cos(x)，首先求导得到f(x)=cos(x)-sin(x)。

令f(x)=0，解得x=π/4。

又根据f(x)=-sin(x)-cos(x)，可以得出当x=π/4时，f(x)=-√2

0。

函数f(x)在x=π/4处取得最大值，最大值为f(π/4)=√2。

同理，由f(x)可得到f(x)在x=5π/4处取得最小值，最小值为

f(5π/4)=-√2。

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（2）设函数g(x)=(f(x))^2-2f(x)+2，则g(x)的最小值为多少？

将f(x)=sin(x)+cos(x)代入g(x)中得到g(x)=(sin(x)+cos(x))^2

-2(sin(x)+cos(x))+2。

整理得到g(x)=sin^2(x)+2sin(x)cos(x)+cos^2(x)-2sin(x)-

2cos(x)+2。

再次整理得到g(x)=2-2sin(x)-2cos(x)=2(1-sin(x)-cos(x))。

由于1-sin(x)-cos(x)的最值为√2，所以g(x)的最小值为2√2。

（3）求证当x∈[0,π]时，有f(x)≥√2。

由第（1）小题的解答可得，在x∈[0,π]时，f(x)的最大值为√2。

当x∈[0,π]时，有f(x)≥√2。

五、总结

通过以上解题步骤，仔细分析了2023年北京高考数学卷最后一题的内

容和解答方法。这道题目涉及了导数的求解、函数的最值、平方和的

配方法以及不等式的证明等多个数学知识点，反映了学生的数学综合

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应用能力和解题技巧。希望同学们能够在平时的学习中加强对数学知

识的掌握和运用，为未来的考试做好充分的准备。六、进一步探讨

在解答2023年北京高考数学卷最后一题的过程中，我们不仅仅是简单

地进行了计算和推导，更重要的是对数学知识进行了深入的理解和探

讨。这道题目所涉及的内容包括了三角函数、导数、最值、函数的平

方和以及不等式的证明等多个数学知识点。通过深入探讨这些知识点，

我们可以更加全面地理解数学的本