人教B版高中数学必修第四册课后习题 第十一章 立体几何初步 11.4.2 平面与平面垂直.docVIP

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11.4.2平面与平面垂直

课后训练巩固提升

A组

1.若△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是()

A.相交 B.异面

C.平行 D.不确定

答案:C

解析:因为l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.

2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列说法正确的是()

A.若α⊥β,m?α,n?β,则m⊥n

B.若α∥β,m?α,n?β,则m∥n

C.若m⊥n,m?α,n?β,则α⊥β

D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β

答案:D

3.如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m?α,且m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ,且m∥β B.α⊥γ,且l⊥m

C.m∥β,且l⊥m D.α∥β,且α⊥γ

答案:B

解析:∵m?α,m⊥γ,∴α⊥γ.

∵l=β∩γ,∴l?γ.∵m⊥γ,∴m⊥l.

4.已知a,b,c表示直线,α,β,γ表示平面,下列说法正确的是()

A.若a∥β,b∥β,则a∥b

B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

C.若α⊥β,a?α,b?β,则a⊥b

D.若a⊥α,a⊥b,b?α,则b∥α

答案:D

解析:A,C选项中直线a与b的位置关系不确定,B选项中平面α与β的关系不确定,D选项正确.

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为()

A.32 B.22

答案:C

解析:如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O.

∵O为BD中点,A1D=A1B,

∴在△A1BD中,A1O⊥BD.

又在正方形ABCD中,AC⊥BD,

∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.

设AA1=1,则AO=2

∴tan∠A1OA=1

6.(多选题)如图,在三棱锥P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下面结论正确的是()

A.平面EFG∥平面PBC

B.平面EFG⊥平面ABC

C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角

D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角

答案:ABC

解析:A正确,∵GF∥PC,GE∥CB,GF∩GE=G,PC∩CB=C,

∴平面EFG∥平面PBC;

B正确,∵PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF,

∴GF⊥BC,GF⊥AC,又BC∩AC=C,

∴GF⊥平面ABC,∴平面EFG⊥平面ABC;

C正确,易知EF∥BP,

∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角;

D错误,∵不能得出GE⊥AB,∴不能得出∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角.

7.若三个平面两两垂直,它们的交线交于点O,且点P到这三个平面的距离分别为3,4,5,则OP的长为.?

答案:52

解析:OP可看作是以3,4,5为棱长的长方体的体对角线.

8.已知α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断:

①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.

答案:①③④?②(或②③④?①)

9.如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=12AD=a,G是EF的中点,求证:平面AGC⊥

证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴AB⊥BC.

∵平面ABCD⊥平面ABEF,且平面ABCD∩平面ABEF=AB,BC?平面ABCD,

∴BC⊥平面ABEF.

∵AG?平面ABEF,∴BC⊥AG.

∵AD=2a,AF=a,四边形ABEF是矩形,G是EF中点,

∴AG=BG=2a.

∵AB=2a,∴AB2=AG2+BG2,

∴AG⊥BG.

又BG∩BC=B,∴AG⊥平面BGC.

∵AG?平面AGC,

∴平面AGC⊥平面BGC.

10.如图所示,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.

求证:(1)AE∥平面BCD;

(2)平面BDE⊥平面CDE.

证明:(1)如图,取BC的中点M,连接DM.

因为BD=CD,且BD⊥CD,BC=2,

所以DM=1,DM⊥BC.

又因为平面BCD⊥平面ABC,且平面BCD∩平面ABC=BC,所以DM⊥平面ABC.

因为AE⊥平面ABC,

所以AE∥DM.

因为AE?平面BCD,DM?平面BCD,

所以AE∥平面BCD.

(2)连接AM,由(1)知AE∥DM,

因为AE=1,DM=1,

所以四边形DMAE是平行四边形,

所以DE∥AM.

由△ABC是正三角形,M是BC的中点,知AM⊥BC.

因为平面BCD⊥平面ABC,且平面BCD∩平面ABC=BC,AM?平